MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspnv 27709
Description: A subspace is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 27-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspnv.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspnv ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem sspnv
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
2 eqid 2651 . . 3 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
3 eqid 2651 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2651 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
5 eqid 2651 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
6 eqid 2651 . . 3 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
7 sspnv.h . . 3 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isssp 27707 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑊𝐻 ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +𝑣𝑊) ⊆ ( +𝑣𝑈) ∧ ( ·𝑠OLD𝑊) ⊆ ( ·𝑠OLD𝑈) ∧ (normCV𝑊) ⊆ (normCV𝑈)))))
98simprbda 652 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  cfv 5926  NrmCVeccnv 27567   +𝑣 cpv 27568   ·𝑠OLD cns 27570  normCVcnmcv 27573  SubSpcss 27704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fo 5932  df-fv 5934  df-oprab 6694  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-sm 27580  df-nmcv 27583  df-ssp 27705
This theorem is referenced by:  sspg  27711  ssps  27713  sspmlem  27715  sspmval  27716  sspz  27718  sspn  27719  sspimsval  27721  sspph  27838  bnsscmcl  27852  minvecolem2  27859  hhshsslem1  28252  hhshsslem2  28253
  Copyright terms: Public domain W3C validator