Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspsval 27714
 Description: Scalar multiplication on a subspace in terms of scalar multiplication on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ssps.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
ssps.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ssps.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑊)
ssps.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspsval (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑌)) → (𝐴𝑅𝐵) = (𝐴𝑆𝐵))

Proof of Theorem sspsval
StepHypRef Expression
1 ssps.y . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2 ssps.s . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
3 ssps.r . . . 4 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑊)
4 ssps.h . . . 4 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
51, 2, 3, 4ssps 27713 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑅 = (𝑆 ↾ (ℂ × 𝑌)))
65oveqd 6707 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐴𝑅𝐵) = (𝐴(𝑆 ↾ (ℂ × 𝑌))𝐵))
7 ovres 6842 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑌) → (𝐴(𝑆 ↾ (ℂ × 𝑌))𝐵) = (𝐴𝑆𝐵))
86, 7sylan9eq 2705 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑌)) → (𝐴𝑅𝐵) = (𝐴𝑆𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   × cxp 5141   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  NrmCVeccnv 27567  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570  SubSpcss 27704 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583  df-ssp 27705 This theorem is referenced by:  sspmval  27716  minvecolem2  27859  hhshsslem2  28253
 Copyright terms: Public domain W3C validator