MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspz 28439
Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspz.z 𝑍 = (0vec𝑈)
sspz.q 𝑄 = (0vec𝑊)
sspz.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspz ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 = 𝑍)

Proof of Theorem sspz
StepHypRef Expression
1 sspz.h . . . . 5 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
21sspnv 28430 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3 eqid 2818 . . . . . 6 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4 sspz.q . . . . . 6 𝑄 = (0vec𝑊)
53, 4nvzcl 28338 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
65, 5jca 512 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
72, 6syl 17 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
8 eqid 2818 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
9 eqid 2818 . . . 4 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
103, 8, 9, 1sspmval 28437 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄))
117, 10mpdan 683 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄))
123, 9, 4nvmid 28363 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = 𝑄)
132, 5, 12syl2anc2 585 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = 𝑄)
14 eqid 2818 . . . . 5 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
1514, 3, 1sspba 28431 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (BaseSet‘𝑊) ⊆ (BaseSet‘𝑈))
162, 5syl 17 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
1715, 16sseldd 3965 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈))
18 sspz.z . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
1914, 8, 18nvmid 28363 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄) = 𝑍)
2017, 19syldan 591 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄) = 𝑍)
2111, 13, 203eqtr3d 2861 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  NrmCVeccnv 28288  BaseSetcba 28290  0veccn0v 28292  𝑣 cnsb 28293  SubSpcss 28425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ssp 28426
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  28972
  Copyright terms: Public domain W3C validator