Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssuzfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssuzfz 39016
Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ssuzfz.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ssuzfz.2 (𝜑𝐴𝑍)
ssuzfz.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
ssuzfz (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Proof of Theorem ssuzfz
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssuzfz.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑍)
21sselda 3588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
3 ssuzfz.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3syl6eleq 2714 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 11636 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 uzssz 11651 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
83, 7eqsstri 3619 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ⊆ ℤ
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ⊆ ℤ)
101, 9sstrd 3598 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12 ne0i 3902 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴𝐴 ≠ ∅)
1312adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14 ssuzfz.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
16 suprfinzcl 11436 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
1711, 13, 15, 16syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
1811, 17sseldd 3589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
1910sselda 3588 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
206, 18, 193jca 1240 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
21 eluzle 11644 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
224, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀𝑘)
23 zssre 11329 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ)
2510, 24sstrd 3598 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2625adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
27 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
28 eqidd 2627 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2926, 15, 27, 28supfirege 10954 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
3020, 22, 29jca32 557 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
31 elfz2 12272 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
3230, 31sylibr 224 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3332ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
3433ralrimiv 2964 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
35 dfss3 3578 . 2 (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑘𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3634, 35sylibr 224 1 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  supcsup 8291  cr 9880   < clt 10019  cle 10020  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266
This theorem is referenced by:  sge0isum  39938
  Copyright terms: Public domain W3C validator