Theorem ssuzfz 41609

Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssuzfz.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ssuzfz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
ssuzfz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ssuzfz	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Proof of Theorem ssuzfz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssuzfz.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
2	1	sselda 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3		ssuzfz.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrdi 2923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzel2 12242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		uzssz 12258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
8	3, 7	eqsstri 4001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
10	1, 9	sstrd 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
11	10	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12		ne0i 4300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
13	12	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14		ssuzfz.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
15	14	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
16		suprfinzcl 12091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
17	11, 13, 15, 16	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
18	11, 17	sseldd 3968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
19	10	sselda 3967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
20	6, 18, 19	3jca 1124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
21		eluzle 12250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
22	4, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑘)
23		zssre 11982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ)
25	10, 24	sstrd 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	25	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
28		eqidd 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
29	26, 15, 27, 28	supfirege 11621	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
30	20, 22, 29	jca32 518	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
31		elfz2 12893	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
32	30, 31	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33	32	ex 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
34	33	ralrimiv 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
35		dfss3 3956	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
36	34, 35	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  supcsup 8898  ℝcr 10530   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887

This theorem is referenced by:  sge0isum  42702