Theorem stdbdmet 23128

Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
stdbdmet	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12401	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		rpgt0 12404	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
3	1, 2	jca 514	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4		stdbdmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
5	4	stdbdxmet 23127	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	5	3expb 1116	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	3, 6	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		xmetcl 22943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
9	8	3expb 1116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
10	9	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
11	1	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
12	10, 11	ifcld 4514	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ*)
13		rpre 12400	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
15		xmetge0 22956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
16	15	3expb 1116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
17	16	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
18		rpge0 12405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
19	18	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
20		breq2 5072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐶𝑦) = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) → (0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ↔ 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
21		breq2 5072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
22	20, 21	ifboth 4507	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
23	17, 19, 22	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
24		xrmin2 12574	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)
25	10, 11, 24	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)
26		xrrege0 12570	. . . . 5 ⊢ (((if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∧ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
27	12, 14, 23, 25, 26	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
28	27	ralrimivva 3193	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
29	4	fmpo 7768	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
30	28, 29	sylib 220	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
31		ismet2 22945	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
32	7, 30, 31	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ifcif 4469   class class class wbr 5068   × cxp 5555  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160  ℝcr 10538  0cc0 10539  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678  ℝ⁺crp 12392  ∞Metcxmet 20532  Metcmet 20533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-2 11703  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-icc 12748  df-xmet 20540  df-met 20541

This theorem is referenced by:  mopnex  23131  xlebnum  23571