MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdmopn 22524
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same topology as 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
stdbdmopn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
stdbdmopn ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmopn
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpxr 12033 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
21ad2antll 767 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3 simpl2 1230 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
42, 3ifcld 4275 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*)
5 rpre 12032 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
65ad2antll 767 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
7 rpgt0 12037 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
87ad2antll 767 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑟)
9 simpl3 1232 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
10 breq2 4808 . . . . . . . . 9 (𝑟 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑟 ↔ 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
11 breq2 4808 . . . . . . . . 9 (𝑅 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑅 ↔ 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1210, 11ifboth 4268 . . . . . . . 8 ((0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅) → 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
138, 9, 12syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
14 0xr 10278 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
15 xrltle 12175 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*) → (0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1614, 4, 15sylancr 698 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1713, 16mpd 15 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
18 xrmin1 12201 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
192, 3, 18syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
20 xrrege0 12198 . . . . . 6 (((if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
214, 6, 17, 19, 20syl22anc 1478 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
2221, 13elrpd 12062 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+)
23 simprl 811 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑧𝑋)
24 xrmin2 12202 . . . . . . . 8 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
252, 3, 24syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
2623, 4, 253jca 1123 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧𝑋 ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅))
27 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
2827stdbdbl 22523 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋 ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
2926, 28syldan 488 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
3029eqcomd 2766 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
31 breq1 4807 . . . . . 6 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑠𝑟 ↔ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟))
32 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
33 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
3432, 33eqeq12d 2775 . . . . . 6 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))))
3531, 34anbi12d 749 . . . . 5 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) ↔ (if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))))
3635rspcev 3449 . . . 4 ((if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3722, 19, 30, 36syl12anc 1475 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3837ralrimivva 3109 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
39 simp1 1131 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
4027stdbdxmet 22521 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41 stdbdmopn.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
42 eqid 2760 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
4341, 42metequiv2 22516 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4439, 40, 43syl2anc 696 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4538, 44mpd 15 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  cr 10127  0cc0 10128  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  +crp 12025  ∞Metcxmt 19933  ballcbl 19935  MetOpencmopn 19938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-icc 12375  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-bases 20952
This theorem is referenced by:  mopnex  22525  xlebnum  22965
  Copyright terms: Public domain W3C validator