HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stge1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stge1i 28287
Description: If a state is greater than or equal to 1, it is 1. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stge1i (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ (𝑆𝐴) = 1))

Proof of Theorem stge1i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6 𝐴C
2 stle1 28274 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ≤ 1))
31, 2mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ≤ 1)
43anim1i 589 . . . 4 ((𝑆 ∈ States ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴)) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴)))
54ex 448 . . 3 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
6 stcl 28265 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
71, 6mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
8 1re 9895 . . . 4 1 ∈ ℝ
9 letri3 9974 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) = 1 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
107, 8, 9sylancl 692 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) = 1 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
115, 10sylibrd 247 . 2 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) → (𝑆𝐴) = 1))
12 1le1 10504 . . 3 1 ≤ 1
13 breq2 4581 . . 3 ((𝑆𝐴) = 1 → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ 1 ≤ 1))
1412, 13mpbiri 246 . 2 ((𝑆𝐴) = 1 → 1 ≤ (𝑆𝐴))
1511, 14impbid1 213 1 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ (𝑆𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  cr 9791  1c1 9793  cle 9931   C cch 26976  Statescst 27009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-hilex 27046
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-icc 12009  df-sh 27254  df-ch 27268  df-st 28260
This theorem is referenced by:  stm1i  28292
  Copyright terms: Public domain W3C validator