Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem10 40618
Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole 𝐵 sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem10.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem10.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem10.4 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem10.5 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐾   𝑛,𝐿   𝑘,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐾(𝑘)   𝐿(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem10
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11761 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11446 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3 stirlinglem10.1 . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4 stirlinglem10.2 . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
5 eqid 2651 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
6 stirlinglem10.4 . . 3 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
73, 4, 5, 6stirlinglem9 40617 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
8 2cnd 11131 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9 nncn 11066 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
108, 9mulcld 10098 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11 1cnd 10094 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1210, 11addcld 10097 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
1312sqcld 13046 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14 0red 10079 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
15 1red 10093 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
16 2re 11128 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18 nnre 11065 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1917, 18remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2019, 15readdcld 10107 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
21 0lt1 10588 . . . . . . . . 9 0 < 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
23 2rp 11875 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
25 nnrp 11880 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
2624, 25rpmulcld 11926 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2715, 26ltaddrp2d 11944 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
2814, 15, 20, 22, 27lttrd 10236 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
2928gt0ne0d 10630 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
30 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
3212, 29, 31expne0d 13054 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
3313, 32reccld 10832 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
3415renegcld 10495 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
3520resqcld 13075 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ)
3635, 32rereccld 10890 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
37 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 lt0neg2 10573 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ -1 < 0))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 < 1 ↔ -1 < 0)
4022, 39sylib 208 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
4120, 29sqgt0d 13077 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
4235, 41recgt0d 10996 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
4334, 14, 36, 40, 42lttrd 10236 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
44 2nn 11223 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
46 expgt1 12938 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) + 1)) → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
4720, 45, 27, 46syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
4835, 41elrpd 11907 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
4948recgt1d 11924 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1))
5047, 49mpbid 222 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)
5136, 15absltd 14212 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1 ↔ (-1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∧ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)))
5243, 50, 51mpbir2and 977 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1)
53 1nn0 11346 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
5453a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
55 stirlinglem10.5 . . . . . 6 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))
5655a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘)))
57 simpr 476 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝑘 = 𝑗)
5857oveq2d 6706 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
59 elnnuz 11762 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
6059biimpri 218 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
6160adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
6233adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
6361nnnn0d 11389 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
6462, 63expcld 13048 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗) ∈ ℂ)
6556, 58, 61, 64fvmptd 6327 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐿𝑗) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
6633, 52, 54, 65geolim2 14646 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))))
6733exp1d 13043 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
6813, 32dividd 10837 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = 1)
6968eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
7069oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
7148rpcnne0d 11919 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0))
72 divsubdir 10759 . . . . . . 7 (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)) → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
7313, 11, 71, 72syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
74 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
75 binom2 13019 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
7610, 74, 75sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
7776oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1))
788, 9sqmuld 13060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
79 sq2 13000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2↑2) = 4
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
8180oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
8278, 81eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
8310mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) · 1) = (2 · 𝑁))
8483oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (2 · (2 · 𝑁)))
858, 8, 9mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
86 2t2e4 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 2) = 4
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
8887oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
8984, 85, 883eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (4 · 𝑁))
9082, 89oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
91 4cn 11136 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
939sqcld 13046 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
9492, 93, 9adddid 10102 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
959sqvald 13045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
969mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
9796eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
9895, 97oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
999, 9, 11adddid 10102 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
10098, 99eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
101100oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
10290, 94, 1013eqtr2d 2691 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
103 sq1 12998 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
105102, 104oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1))
106105oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1) = (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1))
1079, 11addcld 10097 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1089, 107mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
10992, 108mulcld 10098 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
110109, 11pncand 10431 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
11177, 106, 1103eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
112111oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
11370, 73, 1123eqtr2d 2691 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
11467, 113oveq12d 6708 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
115 4pos 11154 . . . . . . . . 9 0 < 4
116115a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 4)
117116gt0ne0d 10630 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
118 nnne0 11091 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11918, 15readdcld 10107 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
120 nngt0 11087 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
12118ltp1d 10992 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
12214, 18, 119, 120, 121lttrd 10236 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
123122gt0ne0d 10630 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
1249, 107, 118, 123mulne0d 10717 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
12592, 108, 117, 124mulne0d 10717 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ≠ 0)
12611, 13, 109, 13, 32, 32, 125divdivdivd 10886 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
12711, 13mulcomd 10099 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1))
128127oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
12911mulid1d 10095 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 1) = 1)
130129eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (1 · 1))
131130oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
13211, 92, 11, 108, 117, 124divmuldivd 10880 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
133131, 132eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
13468, 133oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
13513, 13, 11, 109, 32, 125divmuldivd 10880 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
13692, 117reccld 10832 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℂ)
137108, 124reccld 10832 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
138136, 137mulcld 10098 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
139138mulid2d 10096 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
140134, 135, 1393eqtr3d 2693 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
141126, 128, 1403eqtrd 2689 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
142114, 141eqtrd 2685 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
14366, 142breqtrd 4711 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
14459biimpi 206 . . . 4 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
145144adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
1466a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
147 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
148147oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
149148oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
150147oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
151149, 150oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
152151adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
153 elfznn 12408 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
154153adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
155 2cnd 11131 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
156154nncnd 11074 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
157155, 156mulcld 10098 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
158 1cnd 10094 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
159157, 158addcld 10097 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
160 0red 10079 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
161 1red 10093 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
16216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
163 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
164162, 163remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
165164, 161readdcld 10107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
16621a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
16723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
168 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
169167, 168rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
170161, 169ltaddrp2d 11944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
171160, 161, 165, 166, 170lttrd 10236 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
172153, 171syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
173172gt0ne0d 10630 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
174173adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
175159, 174reccld 10832 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
1769adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
177155, 176mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
178177, 158addcld 10097 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
17929adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
180178, 179reccld 10832 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
181 2nn0 11347 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
182181a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ0)
183154nnnn0d 11389 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
184182, 183nn0mulcld 11394 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
185180, 184expcld 13048 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
186175, 185mulcld 10098 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
187146, 152, 154, 186fvmptd 6327 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
188187adantlr 751 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
189171gt0ne0d 10630 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
190165, 189rereccld 10890 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
191153, 190syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
192191adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
19320, 29rereccld 10890 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
194193adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
195194, 184reexpcld 13065 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
196195adantlr 751 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
197192, 196remulcld 10108 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
198188, 197eqeltrd 2730 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) ∈ ℝ)
199 readdcl 10057 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
200199adantl 481 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
201145, 198, 200seqcl 12861 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ∈ ℝ)
20255a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘)))
203 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
204203adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
20533adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
206205, 183expcld 13048 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℂ)
207202, 204, 154, 206fvmptd 6327 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿𝑛) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
20836adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
209208, 183reexpcld 13065 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ)
210207, 209eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿𝑛) ∈ ℝ)
211210adantlr 751 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿𝑛) ∈ ℝ)
212145, 211, 200seqcl 12861 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐿)‘𝑗) ∈ ℝ)
21330a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 2 ∈ ℤ)
214 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℤ)
215213, 214zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
216 1exp 12929 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
217215, 216syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
218 1exp 12929 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
219214, 218syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑𝑛) = 1)
220217, 219eqtr4d 2688 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
221220adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
222178, 183, 182expmuld 13051 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛))
223221, 222oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
224158, 178, 179, 184expdivd 13062 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
225178sqcld 13046 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
22630a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
227178, 179, 226expne0d 13054 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
228158, 225, 227, 183expdivd 13062 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
229223, 224, 2283eqtr4d 2695 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
230229oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
231 1rp 11874 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
232231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ+)
23316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℝ)
234154nnred 11073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℝ)
235233, 234remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
236182nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 2)
237183nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑛)
238233, 234, 236, 237mulge0d 10642 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
239235, 238ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
240 1red 10093 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
241232rpge0d 11914 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 1)
242161, 165, 170ltled 10223 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
243153, 242syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
244243adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
245232, 239, 240, 241, 244lediv2ad 11932 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ (1 / 1))
246158div1d 10831 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / 1) = 1)
247245, 246breqtrd 4711 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1)
248154, 190syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
24918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℝ)
250233, 249remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
25114, 18, 120ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
252251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑁)
253233, 249, 236, 252mulge0d 10642 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
254250, 253ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
255254, 226rpexpcld 13072 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
256255rpreccld 11920 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ+)
257214adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
258256, 257rpexpcld 13072 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ+)
259248, 240, 258lemul1d 11953 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1 ↔ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))))
260247, 259mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
261206mulid2d 10096 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
262260, 261breqtrd 4711 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
263230, 262eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
264263, 187, 2073brtr4d 4717 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) ≤ (𝐿𝑛))
265264adantlr 751 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) ≤ (𝐿𝑛))
266145, 198, 211, 265serle 12896 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐿)‘𝑗))
2671, 2, 7, 143, 201, 212, 266climle 14414 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  4c4 11110  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cexp 12900  !cfa 13100  csqrt 14017  abscabs 14018  cli 14259  eceu 14837  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  stirlinglem12  40620
  Copyright terms: Public domain W3C validator