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Theorem stirlinglem10 38773
Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole 𝐵 sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem10.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem10.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem10.4 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem10.5 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐾   𝑛,𝐿   𝑘,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐾(𝑘)   𝐿(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem10
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11555 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11241 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3 stirlinglem10.1 . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4 stirlinglem10.2 . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
5 eqid 2609 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
6 stirlinglem10.4 . . 3 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
73, 4, 5, 6stirlinglem9 38772 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
8 2cnd 10940 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9 nncn 10875 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
108, 9mulcld 9916 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11 1cnd 9912 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1210, 11addcld 9915 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
1312sqcld 12823 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14 0red 9897 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
15 1red 9911 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
16 2re 10937 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18 nnre 10874 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1917, 18remulcld 9926 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2019, 15readdcld 9925 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
21 0lt1 10399 . . . . . . . . 9 0 < 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
23 2rp 11669 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
25 nnrp 11674 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
2624, 25rpmulcld 11720 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2715, 26ltaddrp2d 11738 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
2814, 15, 20, 22, 27lttrd 10049 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
2928gt0ne0d 10441 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
30 2z 11242 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
3212, 29, 31expne0d 12831 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
3313, 32reccld 10643 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
3415renegcld 10308 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
3520resqcld 12852 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ)
3635, 32rereccld 10701 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
37 1re 9895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 lt0neg2 10384 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ -1 < 0))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 < 1 ↔ -1 < 0)
4022, 39sylib 206 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
4120, 29sqgt0d 12854 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
4235, 41recgt0d 10807 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
4334, 14, 36, 40, 42lttrd 10049 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
44 2nn 11032 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
46 expgt1 12715 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) + 1)) → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
4720, 45, 27, 46syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
4835, 41elrpd 11701 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
4948recgt1d 11718 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1))
5047, 49mpbid 220 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)
5136, 15absltd 13962 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1 ↔ (-1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∧ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)))
5243, 50, 51mpbir2and 958 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1)
53 1nn0 11155 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
5453a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
55 stirlinglem10.5 . . . . . 6 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))
5655a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘)))
57 simpr 475 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝑘 = 𝑗)
5857oveq2d 6543 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
59 elnnuz 11556 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
6059biimpri 216 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
6160adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
6233adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
6361nnnn0d 11198 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
6462, 63expcld 12825 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗) ∈ ℂ)
6556, 58, 61, 64fvmptd 6182 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐿𝑗) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
6633, 52, 54, 65geolim2 14387 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))))
6733exp1d 12820 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
6813, 32dividd 10648 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = 1)
6968eqcomd 2615 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
7069oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
7148rpcnne0d 11713 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0))
72 divsubdir 10570 . . . . . . 7 (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)) → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
7313, 11, 71, 72syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
74 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
75 binom2 12796 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
7610, 74, 75sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
7776oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1))
788, 9sqmuld 12837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
79 sq2 12777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2↑2) = 4
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
8180oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
8278, 81eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
8310mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) · 1) = (2 · 𝑁))
8483oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (2 · (2 · 𝑁)))
858, 8, 9mulassd 9919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
86 2t2e4 11024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 2) = 4
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
8887oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
8984, 85, 883eqtr2d 2649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (4 · 𝑁))
9082, 89oveq12d 6545 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
91 4cn 10945 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
939sqcld 12823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
9492, 93, 9adddid 9920 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
959sqvald 12822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
969mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
9796eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
9895, 97oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
999, 9, 11adddid 9920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
10098, 99eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
101100oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
10290, 94, 1013eqtr2d 2649 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
103 sq1 12775 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
105102, 104oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1))
106105oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1) = (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1))
1079, 11addcld 9915 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1089, 107mulcld 9916 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
10992, 108mulcld 9916 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
110109, 11pncand 10244 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
11177, 106, 1103eqtrd 2647 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
112111oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
11370, 73, 1123eqtr2d 2649 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
11467, 113oveq12d 6545 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
115 4pos 10963 . . . . . . . . 9 0 < 4
116115a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 4)
117116gt0ne0d 10441 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
118 nnne0 10900 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11918, 15readdcld 9925 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
120 nngt0 10896 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
12118ltp1d 10803 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
12214, 18, 119, 120, 121lttrd 10049 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
123122gt0ne0d 10441 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
1249, 107, 118, 123mulne0d 10528 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
12592, 108, 117, 124mulne0d 10528 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ≠ 0)
12611, 13, 109, 13, 32, 32, 125divdivdivd 10697 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
12711, 13mulcomd 9917 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1))
128127oveq1d 6542 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
12911mulid1d 9913 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 1) = 1)
130129eqcomd 2615 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (1 · 1))
131130oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
13211, 92, 11, 108, 117, 124divmuldivd 10691 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
133131, 132eqtr4d 2646 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
13468, 133oveq12d 6545 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
13513, 13, 11, 109, 32, 125divmuldivd 10691 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
13692, 117reccld 10643 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℂ)
137108, 124reccld 10643 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
138136, 137mulcld 9916 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
139138mulid2d 9914 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
140134, 135, 1393eqtr3d 2651 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
141126, 128, 1403eqtrd 2647 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
142114, 141eqtrd 2643 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
14366, 142breqtrd 4603 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
14459biimpi 204 . . . 4 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
145144adantl 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
1466a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
147 oveq2 6535 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
148147oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
149148oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
150147oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
151149, 150oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
152151adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
153 elfznn 12196 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
154153adantl 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
155 2cnd 10940 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
156154nncnd 10883 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
157155, 156mulcld 9916 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
158 1cnd 9912 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
159157, 158addcld 9915 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
160 0red 9897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
161 1red 9911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
16216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
163 nnre 10874 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
164162, 163remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
165164, 161readdcld 9925 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
16621a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
16723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
168 nnrp 11674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
169167, 168rpmulcld 11720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
170161, 169ltaddrp2d 11738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
171160, 161, 165, 166, 170lttrd 10049 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
172153, 171syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
173172gt0ne0d 10441 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
174173adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
175159, 174reccld 10643 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
1769adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
177155, 176mulcld 9916 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
178177, 158addcld 9915 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
17929adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
180178, 179reccld 10643 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
181 2nn0 11156 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
182181a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ0)
183154nnnn0d 11198 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
184182, 183nn0mulcld 11203 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
185180, 184expcld 12825 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
186175, 185mulcld 9916 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
187146, 152, 154, 186fvmptd 6182 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
188187adantlr 746 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
189171gt0ne0d 10441 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
190165, 189rereccld 10701 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
191153, 190syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
192191adantl 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
19320, 29rereccld 10701 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
194193adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
195194, 184reexpcld 12842 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
196195adantlr 746 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
197192, 196remulcld 9926 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
198188, 197eqeltrd 2687 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) ∈ ℝ)
199 readdcl 9875 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
200199adantl 480 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
201145, 198, 200seqcl 12638 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ∈ ℝ)
20255a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘)))
203 oveq2 6535 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
204203adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
20533adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
206205, 183expcld 12825 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℂ)
207202, 204, 154, 206fvmptd 6182 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿𝑛) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
20836adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
209208, 183reexpcld 12842 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ)
210207, 209eqeltrd 2687 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿𝑛) ∈ ℝ)
211210adantlr 746 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿𝑛) ∈ ℝ)
212145, 211, 200seqcl 12638 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐿)‘𝑗) ∈ ℝ)
21330a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 2 ∈ ℤ)
214 elfzelz 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℤ)
215213, 214zmulcld 11320 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
216 1exp 12706 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
217215, 216syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
218 1exp 12706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
219214, 218syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑𝑛) = 1)
220217, 219eqtr4d 2646 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
221220adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
222178, 183, 182expmuld 12828 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛))
223221, 222oveq12d 6545 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
224158, 178, 179, 184expdivd 12839 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
225178sqcld 12823 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
22630a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
227178, 179, 226expne0d 12831 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
228158, 225, 227, 183expdivd 12839 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
229223, 224, 2283eqtr4d 2653 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
230229oveq2d 6543 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
231 1rp 11668 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
232231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ+)
23316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℝ)
234154nnred 10882 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℝ)
235233, 234remulcld 9926 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
236182nn0ge0d 11201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 2)
237183nn0ge0d 11201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑛)
238233, 234, 236, 237mulge0d 10453 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
239235, 238ge0p1rpd 11734 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
240 1red 9911 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
241232rpge0d 11708 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 1)
242161, 165, 170ltled 10036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
243153, 242syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
244243adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
245232, 239, 240, 241, 244lediv2ad 11726 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ (1 / 1))
246158div1d 10642 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / 1) = 1)
247245, 246breqtrd 4603 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1)
248154, 190syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
24918adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℝ)
250233, 249remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
25114, 18, 120ltled 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
252251adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑁)
253233, 249, 236, 252mulge0d 10453 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
254250, 253ge0p1rpd 11734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
255254, 226rpexpcld 12849 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
256255rpreccld 11714 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ+)
257214adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
258256, 257rpexpcld 12849 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ+)
259248, 240, 258lemul1d 11747 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1 ↔ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))))
260247, 259mpbid 220 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
261206mulid2d 9914 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
262260, 261breqtrd 4603 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
263230, 262eqbrtrd 4599 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
264263, 187, 2073brtr4d 4609 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) ≤ (𝐿𝑛))
265264adantlr 746 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) ≤ (𝐿𝑛))
266145, 198, 211, 265serle 12673 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐿)‘𝑗))
2671, 2, 7, 143, 201, 212, 266climle 14164 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  4c4 10919  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  +crp 11664  ...cfz 12152  seqcseq 12618  cexp 12677  !cfa 12877  csqrt 13767  abscabs 13768  cli 14009  eceu 14578  logclog 24022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-e 14584  df-sin 14585  df-cos 14586  df-tan 14587  df-pi 14588  df-dvds 14768  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-ulm 23852  df-log 24024  df-cxp 24025
This theorem is referenced by:  stirlinglem12  38775
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