Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem12 39630
Description: The sequence 𝐵 is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem12.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem12.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10982 . . . . 5 1 ∈ ℕ
2 stirlinglem12.1 . . . . . . 7 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32stirlinglem2 39620 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ → (𝐴‘1) ∈ ℝ+)
4 relogcl 24239 . . . . . 6 ((𝐴‘1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ)
51, 3, 4mp2b 10 . . . . 5 (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ
6 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑛1
7 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑛log
8 nfmpt1 4712 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
92, 8nfcxfr 2759 . . . . . . . 8 𝑛𝐴
109, 6nffv 6160 . . . . . . 7 𝑛(𝐴‘1)
117, 10nffv 6160 . . . . . 6 𝑛(log‘(𝐴‘1))
12 fveq2 6153 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝐴𝑛) = (𝐴‘1))
1312fveq2d 6157 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘1)))
14 stirlinglem12.2 . . . . . 6 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
156, 11, 13, 14fvmptf 6262 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ) → (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1)))
161, 5, 15mp2an 707 . . . 4 (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))
1716, 5eqeltri 2694 . . 3 (𝐵‘1) ∈ ℝ
1817a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘1) ∈ ℝ)
192stirlinglem2 39620 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
2019relogcld 24286 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
21 nfcv 2761 . . . . 5 𝑛𝑁
229, 21nffv 6160 . . . . . 6 𝑛(𝐴𝑁)
237, 22nffv 6160 . . . . 5 𝑛(log‘(𝐴𝑁))
24 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑁))
2524fveq2d 6157 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑁)))
2621, 23, 25, 14fvmptf 6262 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
2720, 26mpdan 701 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
2827, 20eqeltrd 2698 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
29 4re 11048 . . . 4 4 ∈ ℝ
30 4ne0 11068 . . . 4 4 ≠ 0
3129, 30rereccli 10741 . . 3 (1 / 4) ∈ ℝ
3231a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
33 fveq2 6153 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
34 fveq2 6153 . . . . 5 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐵𝑘) = (𝐵‘(𝑗 + 1)))
35 fveq2 6153 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝐵𝑘) = (𝐵‘1))
36 fveq2 6153 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑁))
37 elnnuz 11675 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
3837biimpi 206 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
39 elfznn 12319 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
402stirlinglem2 39620 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
4241relogcld 24286 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
43 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑛𝑘
449, 43nffv 6160 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴𝑘)
457, 44nffv 6160 . . . . . . . . 9 𝑛(log‘(𝐴𝑘))
46 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
4746fveq2d 6157 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑘)))
4843, 45, 47, 14fvmptf 6262 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
4939, 42, 48syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
5049adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
5141rpcnd 11825 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5251adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5340rpne0d 11828 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ≠ 0)
5439, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
5554adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
5652, 55logcld 24234 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
5750, 56eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
5833, 34, 35, 36, 38, 57telfsumo 14468 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1..^𝑁)((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) = ((𝐵‘1) − (𝐵𝑁)))
59 nnz 11350 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
60 fzoval 12419 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
6159, 60syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
6261sumeq1d 14372 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1..^𝑁)((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))))
6358, 62eqtr3d 2657 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (𝐵𝑁)) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))))
64 fzfid 12719 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
65 elfznn 12319 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
6665adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
672stirlinglem2 39620 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴𝑗) ∈ ℝ+)
6867relogcld 24286 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑗)) ∈ ℝ)
69 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑗
709, 69nffv 6160 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝐴𝑗)
717, 70nffv 6160 . . . . . . . . . 10 𝑛(log‘(𝐴𝑗))
72 fveq2 6153 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
7372fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑗)))
7469, 71, 73, 14fvmptf 6262 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑗)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑗) = (log‘(𝐴𝑗)))
7568, 74mpdan 701 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵𝑗) = (log‘(𝐴𝑗)))
7675, 68eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
7766, 76syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
78 peano2nn 10983 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
792stirlinglem2 39620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
8180relogcld 24286 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
82 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑗 + 1)
839, 82nffv 6160 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝐴‘(𝑗 + 1))
847, 83nffv 6160 . . . . . . . . . . 11 𝑛(log‘(𝐴‘(𝑗 + 1)))
85 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (𝐴𝑛) = (𝐴‘(𝑗 + 1)))
8685fveq2d 6157 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
8782, 84, 86, 14fvmptf 6262 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
8878, 81, 87syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
8988, 81eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
9065, 89syl 17 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
9190adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
9277, 91resubcld 10409 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
9364, 92fsumrecl 14405 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
9431a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 / 4) ∈ ℝ)
9565nnred 10986 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
96 1red 10006 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
9795, 96readdcld 10020 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
9895, 97remulcld 10021 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
9995recnd 10019 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
100 1cnd 10007 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
10199, 100addcld 10010 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
10265nnne0d 11016 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ≠ 0)
10378nnne0d 11016 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ≠ 0)
10465, 103syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
10599, 101, 102, 104mulne0d 10630 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
10698, 105rereccld 10803 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
107106adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
10894, 107remulcld 10021 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
10964, 108fsumrecl 14405 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
110 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑖) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑖)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑖) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑖))))
111 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑗) + 1)↑2))↑𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑗) + 1)↑2))↑𝑖))
1122, 14, 110, 111stirlinglem10 39628 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
11366, 112syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
11464, 92, 108, 113fsumle 14465 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
11564, 107fsumrecl 14405 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
116 1red 10006 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
117 4pos 11067 . . . . . . . . 9 0 < 4
11829, 117elrpii 11786 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
119118a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
120 0red 9992 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
121 0lt1 10501 . . . . . . . . 9 0 < 1
122121a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
123120, 116, 122ltled 10136 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
124116, 119, 123divge0d 11863 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 4))
125 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
126 eluznn 11709 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
127 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
129 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛 = 𝑗)
130129oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
131129, 130oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) = (𝑗 · (𝑗 + 1)))
132131oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
133 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
134 nnre 10978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
135 1red 10006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
136134, 135readdcld 10020 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
137134, 136remulcld 10021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
138 nncn 10979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
139 1cnd 10007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
140138, 139addcld 10010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
141 nnne0 11004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
142138, 140, 141, 103mulne0d 10630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
143137, 142rereccld 10803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
144128, 132, 133, 143fvmptd 6250 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
145126, 144syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
146126nnred 10986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
147 1red 10006 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
148146, 147readdcld 10020 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
149146, 148remulcld 10021 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
150146recnd 10019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
151 1cnd 10007 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
152150, 151addcld 10010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
153126nnne0d 11016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ≠ 0)
154126, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
155150, 152, 153, 154mulne0d 10630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
156149, 155rereccld 10803 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
157 seqeq1 12751 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq1( + , 𝐹))
158127trireciplem 14526 . . . . . . . . . . . . . 14 seq1( + , 𝐹) ⇝ 1
159 climrel 14164 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel ⇝
160159releldmi 5327 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq1( + , 𝐹) ⇝ 1 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
161158, 160mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
162157, 161eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
163162adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
164 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
165 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → ¬ 𝑁 = 1)
166 elnn1uz2 11716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
167164, 166sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
168167ord 392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
169165, 168mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
170 uz2m1nn 11714 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
172 nncn 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
173172adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
174 1cnd 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
175173, 174npcand 10347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
176175eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
177176seqeq1d 12754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹))
178 nnuz 11674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
179 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
180143recnd 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
181144, 180eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
182181adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
183158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 1)
184178, 179, 182, 183clim2ser 14326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
185184adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
186177, 185eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
187159releldmi 5327 . . . . . . . . . . . . 13 (seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
189164, 171, 188syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
190163, 189pm2.61dan 831 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
191125, 59, 145, 156, 190isumrecl 14431 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
192126nnrpd 11821 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ+)
193192rpge0d 11827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ 𝑗)
194146, 193ge0p1rpd 11853 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
195192, 194rpmulcld 11839 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
196123adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ 1)
197147, 195, 196divge0d 11863 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
198125, 59, 145, 156, 190, 197isumge0 14432 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
199120, 191, 115, 198leadd2dd 10593 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + 0) ≤ (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
200115recnd 10019 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
201200addid1d 10187 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + 0) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
202201eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + 0))
203 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
204144adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
205138adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
206 1cnd 10007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
207205, 206addcld 10010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
208205, 207mulcld 10011 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
209141adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≠ 0)
210103adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
211205, 207, 209, 210mulne0d 10630 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
212208, 211reccld 10745 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
213158, 160mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
214178, 125, 203, 204, 212, 213isumsplit 14504 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
215199, 202, 2143brtr4d 4650 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
216 1zzd 11359 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
217144adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
218180adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
219158a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 1)
220178, 216, 217, 218, 219isumclim 14423 . . . . . . . 8 (⊤ → Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = 1)
221220trud 1490 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = 1
222215, 221syl6breq 4659 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ≤ 1)
223115, 116, 32, 124, 222lemul2ad 10915 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ≤ ((1 / 4) · 1))
224 4cn 11049 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
225224a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
226117a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 4)
227226gt0ne0d 10543 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
228225, 227reccld 10745 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℂ)
229107recnd 10019 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
23064, 228, 229fsummulc2 14451 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
231228mulid1d 10008 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · 1) = (1 / 4))
232223, 230, 2313brtr3d 4649 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ≤ (1 / 4))
23393, 109, 32, 114, 232letrd 10145 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ (1 / 4))
23463, 233eqbrtrd 4640 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (𝐵𝑁)) ≤ (1 / 4))
23518, 28, 32, 234subled 10581 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217   / cdiv 10635  cn 10971  2c2 11021  4c4 11023  cz 11328  cuz 11638  +crp 11783  ...cfz 12275  ..^cfzo 12413  seqcseq 12748  cexp 12807  !cfa 13007  csqrt 13914  cli 14156  Σcsu 14357  eceu 14725  logclog 24218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730  df-e 14731  df-sin 14732  df-cos 14733  df-tan 14734  df-pi 14735  df-dvds 14915  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-cmp 21109  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-limc 23549  df-dv 23550  df-ulm 24048  df-log 24220  df-cxp 24221
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  39631
  Copyright terms: Public domain W3C validator