Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem13 40621
 Description: 𝐵 is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since 𝐵 is log𝐴, in another theorem it is proven that 𝐴 converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem13.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13 𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑
Distinct variable group:   𝐵,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑑)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3234 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
32elrnmpt 5404 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))))
41, 3ax-mp 5 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛)))
5 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))) → 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛)))
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
76stirlinglem2 40610 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℝ+)
87relogcld 24414 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))) → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))) → 𝑦 ∈ ℝ)
1110rexlimiva 3057 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛)) → 𝑦 ∈ ℝ)
124, 11sylbi 207 . . . 4 (𝑦 ∈ ran 𝐵𝑦 ∈ ℝ)
1312ssriv 3640 . . 3 ran 𝐵 ⊆ ℝ
14 1nn 11069 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
156stirlinglem2 40610 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ → (𝐴‘1) ∈ ℝ+)
16 relogcl 24367 . . . . . . . 8 ((𝐴‘1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . 7 (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ
18 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑛1
19 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑛log
20 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
216, 20nfcxfr 2791 . . . . . . . . . 10 𝑛𝐴
2221, 18nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐴‘1)
2319, 22nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑛(log‘(𝐴‘1))
24 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (𝐴𝑛) = (𝐴‘1))
2524fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘1)))
2618, 23, 25, 2fvmptf 6340 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ) → (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1)))
2714, 17, 26mp2an 708 . . . . . 6 (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))
28 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝐴𝑗) = (𝐴‘1))
2928fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → (log‘(𝐴𝑗)) = (log‘(𝐴‘1)))
3029eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → ((𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗)) ↔ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))))
3130rspcev 3340 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗)))
3214, 27, 31mp2an 708 . . . . 5 𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗))
3327, 17eqeltri 2726 . . . . . 6 (𝐵‘1) ∈ ℝ
34 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑗(log‘(𝐴𝑛))
35 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑗
3621, 35nffv 6236 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴𝑗)
3719, 36nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑛(log‘(𝐴𝑗))
38 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
3938fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑗)))
4034, 37, 39cbvmpt 4782 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑗)))
412, 40eqtri 2673 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑗)))
4241elrnmpt 5404 . . . . . 6 ((𝐵‘1) ∈ ℝ → ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗))))
4333, 42ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗)))
4432, 43mpbir 221 . . . 4 (𝐵‘1) ∈ ran 𝐵
4544ne0ii 3956 . . 3 ran 𝐵 ≠ ∅
46 4re 11135 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
47 4ne0 11155 . . . . . . 7 4 ≠ 0
4846, 47rereccli 10828 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℝ
4933, 48resubcli 10381 . . . . 5 ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ
50 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
516, 2, 50stirlinglem12 40620 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗))
5251rgen 2951 . . . . 5 𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)
53 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ↔ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)))
5453ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)))
5554rspcev 3340 . . . . 5 ((((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
5649, 52, 55mp2an 708 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗)
57 simpr 476 . . . . . . . 8 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑦 ∈ ran 𝐵)
588rgen 2951 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ
592fnmpt 6058 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ → 𝐵 Fn ℕ)
60 fvelrnb 6282 . . . . . . . . 9 (𝐵 Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦))
6158, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦)
6257, 61sylib 208 . . . . . . 7 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦)
63 nfra1 2970 . . . . . . . . 9 𝑗𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗)
64 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑦 ∈ ran 𝐵
6563, 64nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑗(∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵)
66 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑗 𝑥𝑦
67 simp1l 1105 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
68 simp2 1082 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → 𝑗 ∈ ℕ)
69 rsp 2958 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) → (𝑗 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵𝑗)))
7067, 68, 69sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
71 simp3 1083 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → (𝐵𝑗) = 𝑦)
7270, 71breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → 𝑥𝑦)
73723exp 1283 . . . . . . . 8 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵𝑗) = 𝑦𝑥𝑦)))
7465, 66, 73rexlimd 3055 . . . . . . 7 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦𝑥𝑦))
7562, 74mpd 15 . . . . . 6 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑥𝑦)
7675ralrimiva 2995 . . . . 5 (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦)
7776reximi 3040 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦)
7856, 77ax-mp 5 . . 3 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦
79 infrecl 11043 . . 3 ((ran 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦) → inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8013, 45, 78, 79mp3an 1464 . 2 inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ
81 nnuz 11761 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
82 1zzd 11446 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
832, 8fmpti 6423 . . . . 5 𝐵:ℕ⟶ℝ
8483a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
85 peano2nn 11070 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
866a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
87 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
8887fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑗 + 1)))
8987oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑗 + 1)))
9089fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
9187oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (𝑛 / e) = ((𝑗 + 1) / e))
9291, 87oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))
9390, 92oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))))
9488, 93oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
9585nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
96 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
97 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
99 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
100 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
101 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
102100, 101addcld 10097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
10399, 102mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
104103sqrtcld 14220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
105 ere 14863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e ∈ ℝ
106105recni 10090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℂ
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
108 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
109 epos 14979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < e
110108, 109gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≠ 0
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → e ≠ 0)
112102, 107, 111divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℂ)
113112, 95expcld 13048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
114104, 113mulcld 10098 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
115 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
117 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
118108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
119 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
120 0le1 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≤ 1
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
122 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
123118, 119, 117, 121, 122letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑗)
124117, 123ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
125116, 124rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
126125sqrtgt0d 14195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
127126gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ≠ 0)
12885nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ≠ 0)
129102, 107, 128, 111divne0d 10855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ≠ 0)
130 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
131130peano2zd 11523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
132112, 129, 131expne0d 13054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ≠ 0)
133104, 113, 127, 132mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ≠ 0)
13498, 114, 133divcld 10839 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
13586, 94, 85, 134fvmptd 6327 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
136 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
13795, 96, 1363syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
138125rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
139 epr 14980 . . . . . . . . . . . . . . 15 e ∈ ℝ+
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
141124, 140rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℝ+)
142141, 131rpexpcld 13072 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
143138, 142rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
144137, 143rpdivcld 11927 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ+)
145135, 144eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
146145relogcld 24414 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
147 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑗 + 1)
14821, 147nffv 6236 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴‘(𝑗 + 1))
14919, 148nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑛(log‘(𝐴‘(𝑗 + 1)))
150 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (𝐴𝑛) = (𝐴‘(𝑗 + 1)))
151150fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
152147, 149, 151, 2fvmptf 6340 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
15385, 146, 152syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
154153, 146eqeltrd 2730 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
15583ffvelrni 6398 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
156 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧))))
1576, 2, 156stirlinglem11 40619 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) < (𝐵𝑗))
158154, 155, 157ltled 10223 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵𝑗))
159158adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵𝑗))
16056a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
16181, 82, 84, 159, 160climinf 40156 . . 3 (⊤ → 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < ))
162161trud 1533 . 2 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )
163 breq2 4689 . . 3 (𝑑 = inf(ran 𝐵, ℝ, < ) → (𝐵𝑑𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )))
164163rspcev 3340 . 2 ((inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑)
16580, 162, 164mp2an 708 1 𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  4c4 11110  ℕ0cn0 11330  ℝ+crp 11870  ↑cexp 12900  !cfa 13100  √csqrt 14017   ⇝ cli 14259  eceu 14837  logclog 24346 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-cxp 24349 This theorem is referenced by:  stirlinglem14  40622
 Copyright terms: Public domain W3C validator