Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem13 39597
Description: 𝐵 is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since 𝐵 is log𝐴, in another theorem it is proven that 𝐴 converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem13.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13 𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑
Distinct variable group:   𝐵,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑑)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3194 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
32elrnmpt 5336 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))))
41, 3ax-mp 5 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛)))
5 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))) → 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛)))
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
76stirlinglem2 39586 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℝ+)
87relogcld 24268 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))) → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2704 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))) → 𝑦 ∈ ℝ)
1110rexlimiva 3026 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛)) → 𝑦 ∈ ℝ)
124, 11sylbi 207 . . . 4 (𝑦 ∈ ran 𝐵𝑦 ∈ ℝ)
1312ssriv 3592 . . 3 ran 𝐵 ⊆ ℝ
14 1nn 10976 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
156stirlinglem2 39586 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ → (𝐴‘1) ∈ ℝ+)
16 relogcl 24221 . . . . . . . 8 ((𝐴‘1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . 7 (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ
18 nfcv 2767 . . . . . . . 8 𝑛1
19 nfcv 2767 . . . . . . . . 9 𝑛log
20 nfmpt1 4712 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
216, 20nfcxfr 2765 . . . . . . . . . 10 𝑛𝐴
2221, 18nffv 6157 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐴‘1)
2319, 22nffv 6157 . . . . . . . 8 𝑛(log‘(𝐴‘1))
24 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (𝐴𝑛) = (𝐴‘1))
2524fveq2d 6154 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘1)))
2618, 23, 25, 2fvmptf 6258 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ) → (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1)))
2714, 17, 26mp2an 707 . . . . . 6 (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))
28 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝐴𝑗) = (𝐴‘1))
2928fveq2d 6154 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → (log‘(𝐴𝑗)) = (log‘(𝐴‘1)))
3029eqeq2d 2636 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → ((𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗)) ↔ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))))
3130rspcev 3300 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗)))
3214, 27, 31mp2an 707 . . . . 5 𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗))
3327, 17eqeltri 2700 . . . . . 6 (𝐵‘1) ∈ ℝ
34 nfcv 2767 . . . . . . . . 9 𝑗(log‘(𝐴𝑛))
35 nfcv 2767 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑗
3621, 35nffv 6157 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴𝑗)
3719, 36nffv 6157 . . . . . . . . 9 𝑛(log‘(𝐴𝑗))
38 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
3938fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑗)))
4034, 37, 39cbvmpt 4714 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑗)))
412, 40eqtri 2648 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑗)))
4241elrnmpt 5336 . . . . . 6 ((𝐵‘1) ∈ ℝ → ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗))))
4333, 42ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗)))
4432, 43mpbir 221 . . . 4 (𝐵‘1) ∈ ran 𝐵
4544ne0ii 3904 . . 3 ran 𝐵 ≠ ∅
46 4re 11042 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
47 4ne0 11062 . . . . . . 7 4 ≠ 0
4846, 47rereccli 10735 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℝ
4933, 48resubcli 10288 . . . . 5 ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ
50 eqid 2626 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
516, 2, 50stirlinglem12 39596 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗))
5251rgen 2922 . . . . 5 𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)
53 breq1 4621 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ↔ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)))
5453ralbidv 2985 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)))
5554rspcev 3300 . . . . 5 ((((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
5649, 52, 55mp2an 707 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗)
57 simpr 477 . . . . . . . 8 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑦 ∈ ran 𝐵)
588rgen 2922 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ
592fnmpt 5979 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ → 𝐵 Fn ℕ)
60 fvelrnb 6201 . . . . . . . . 9 (𝐵 Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦))
6158, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦)
6257, 61sylib 208 . . . . . . 7 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦)
63 nfra1 2941 . . . . . . . . 9 𝑗𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗)
64 nfv 1845 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑦 ∈ ran 𝐵
6563, 64nfan 1830 . . . . . . . 8 𝑗(∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵)
66 nfv 1845 . . . . . . . 8 𝑗 𝑥𝑦
67 simp1l 1083 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
68 simp2 1060 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → 𝑗 ∈ ℕ)
69 rsp 2929 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) → (𝑗 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵𝑗)))
7067, 68, 69sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
71 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → (𝐵𝑗) = 𝑦)
7270, 71breqtrd 4644 . . . . . . . . 9 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → 𝑥𝑦)
73723exp 1261 . . . . . . . 8 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵𝑗) = 𝑦𝑥𝑦)))
7465, 66, 73rexlimd 3024 . . . . . . 7 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦𝑥𝑦))
7562, 74mpd 15 . . . . . 6 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑥𝑦)
7675ralrimiva 2965 . . . . 5 (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦)
7776reximi 3010 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦)
7856, 77ax-mp 5 . . 3 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦
79 infrecl 10950 . . 3 ((ran 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦) → inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8013, 45, 78, 79mp3an 1421 . 2 inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ
81 nnuz 11667 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
82 1zzd 11353 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
832, 8fmpti 6340 . . . . 5 𝐵:ℕ⟶ℝ
8483a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
85 peano2nn 10977 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
866a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
87 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
8887fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑗 + 1)))
8987oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑗 + 1)))
9089fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
9187oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (𝑛 / e) = ((𝑗 + 1) / e))
9291, 87oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))
9390, 92oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))))
9488, 93oveq12d 6623 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
9585nnnn0d 11296 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
96 faccl 13007 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
97 nncn 10973 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
99 2cnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
100 nncn 10973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
101 1cnd 10001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
102100, 101addcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
10399, 102mulcld 10005 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
104103sqrtcld 14105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
105 ere 14739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e ∈ ℝ
106105recni 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℂ
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
108 0re 9985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
109 epos 14855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < e
110108, 109gtneii 10094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≠ 0
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → e ≠ 0)
112102, 107, 111divcld 10746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℂ)
113112, 95expcld 12945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
114104, 113mulcld 10005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
115 2rp 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
117 nnre 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
118108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
119 1red 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
120 0le1 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≤ 1
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
122 nnge1 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
123118, 119, 117, 121, 122letrd 10139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑗)
124117, 123ge0p1rpd 11846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
125116, 124rpmulcld 11832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
126125sqrtgt0d 14080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
127126gt0ne0d 10537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ≠ 0)
12885nnne0d 11010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ≠ 0)
129102, 107, 128, 111divne0d 10762 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ≠ 0)
130 nnz 11344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
131130peano2zd 11429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
132112, 129, 131expne0d 12951 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ≠ 0)
133104, 113, 127, 132mulne0d 10624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ≠ 0)
13498, 114, 133divcld 10746 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
13586, 94, 85, 134fvmptd 6246 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
136 nnrp 11786 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
13795, 96, 1363syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
138125rpsqrtcld 14079 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
139 epr 14856 . . . . . . . . . . . . . . 15 e ∈ ℝ+
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
141124, 140rpdivcld 11833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℝ+)
142141, 131rpexpcld 12969 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
143138, 142rpmulcld 11832 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
144137, 143rpdivcld 11833 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ+)
145135, 144eqeltrd 2704 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
146145relogcld 24268 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
147 nfcv 2767 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑗 + 1)
14821, 147nffv 6157 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴‘(𝑗 + 1))
14919, 148nffv 6157 . . . . . . . . 9 𝑛(log‘(𝐴‘(𝑗 + 1)))
150 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (𝐴𝑛) = (𝐴‘(𝑗 + 1)))
151150fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
152147, 149, 151, 2fvmptf 6258 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
15385, 146, 152syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
154153, 146eqeltrd 2704 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
15583ffvelrni 6315 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
156 eqid 2626 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧))))
1576, 2, 156stirlinglem11 39595 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) < (𝐵𝑗))
158154, 155, 157ltled 10130 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵𝑗))
159158adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵𝑗))
16056a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
16181, 82, 84, 159, 160climinf 39229 . . 3 (⊤ → 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < ))
162161trud 1490 . 2 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )
163 breq2 4622 . . 3 (𝑑 = inf(ran 𝐵, ℝ, < ) → (𝐵𝑑𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )))
164163rspcev 3300 . 2 ((inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑)
16580, 162, 164mp2an 707 1 𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  Vcvv 3191  wss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ran crn 5080   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  infcinf 8292  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  4c4 11017  0cn0 11237  +crp 11776  cexp 12797  !cfa 12997  csqrt 13902  cli 14144  eceu 14713  logclog 24200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718  df-e 14719  df-sin 14720  df-cos 14721  df-tan 14722  df-pi 14723  df-dvds 14903  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-cmp 21095  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532  df-ulm 24030  df-log 24202  df-cxp 24203
This theorem is referenced by:  stirlinglem14  39598
  Copyright terms: Public domain W3C validator