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Theorem stirlinglem3 39600
Description: Long but simple algebraic transformations are applied to show that 𝑉, the Wallis formula for π , can be expressed in terms of 𝐴, the Stirling's approximation formula for the factorial, up to a constant factor. This will allow (in a later theorem) to determine the right constant factor to be put into the 𝐴, in order to get the exact Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem3.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem3.2 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem3.3 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem3.4 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem3 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))

Proof of Theorem stirlinglem3
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem3.4 . 2 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
2 nnnn0 11243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3 faccl 13010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
4 nncn 10972 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
52, 3, 43syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
6 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7 nncn 10972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
86, 7mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
98sqrtcld 14110 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
10 ere 14744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e ∈ ℝ
1110recni 9996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
13 epos 14860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < e
1410, 13gt0ne0ii 10508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≠ 0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
167, 12, 15divcld 10745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
1716, 2expcld 12948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
189, 17mulcld 10004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
19 2rp 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
21 nnrp 11786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
2220, 21rpmulcld 11832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
2322sqrtgt0d 14085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
2423gt0ne0d 10536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
25 nnne0 10997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
267, 12, 25, 15divne0d 10761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
27 nnz 11343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
2816, 26, 27expne0d 12954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
299, 17, 24, 28mulne0d 10623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
305, 18, 29divcld 10745 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
31 stirlinglem3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
3231fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
3330, 32mpdan 701 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
3433oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴𝑛)↑4) = (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4))
35 stirlinglem3.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
3635fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐸𝑛) = ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
3718, 36mpdan 701 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸𝑛) = ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
3837oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸𝑛)↑4) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4))
3934, 38oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) = ((((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
40 4nn0 11255 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ0)
425, 18, 29, 41expdivd 12962 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) = (((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
4342oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) = ((((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
445, 41expcld 12948 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
4518, 41expcld 12948 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) ∈ ℂ)
4641nn0zd 11424 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℤ)
4718, 29, 46expne0d 12954 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) ≠ 0)
4844, 45, 47divcan1d 10746 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) = ((!‘𝑛)↑4))
4939, 43, 483eqtrd 2659 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) = ((!‘𝑛)↑4))
5049eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛)↑4) = (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)))
5150oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4))))
52 2nn0 11253 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
5453, 2nn0mulcld 11300 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
55 faccl 13010 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ)
56 nncn 10972 . . . . . . . . . . 11 ((!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
5754, 55, 563syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
5857sqcld 12946 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
596, 8mulcld 10004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
6059sqrtcld 14110 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · (2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
618, 12, 15divcld 10745 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) / e) ∈ ℂ)
6261, 54expcld 12948 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
6360, 62mulcld 10004 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
6463sqcld 12946 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) ∈ ℂ)
6520, 22rpmulcld 11832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
6665sqrtgt0d 14085 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (2 · 𝑛))))
6766gt0ne0d 10536 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · (2 · 𝑛))) ≠ 0)
6820rpne0d 11821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
696, 7, 68, 25mulne0d 10623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
708, 12, 69, 15divne0d 10761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) / e) ≠ 0)
71 2z 11353 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
7372, 27zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
7461, 70, 73expne0d 12954 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)) ≠ 0)
7560, 62, 67, 74mulne0d 10623 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))) ≠ 0)
7663, 75, 72expne0d 12954 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) ≠ 0)
7758, 64, 76divcan1d 10746 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((!‘(2 · 𝑛))↑2))
7857, 63, 75, 53expdivd 12962 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) = (((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
7978eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2))
8079oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
8177, 80eqtr3d 2657 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
82 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
83 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
8483fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑚)))
85 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 / e) = (𝑚 / e))
86 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑚)
8785, 86oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑚 / e)↑𝑚))
8884, 87oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))
8982, 88oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
9089cbvmptv 4710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
9131, 90eqtri 2643 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))))
93 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (2 · 𝑛) → (!‘𝑚) = (!‘(2 · 𝑛)))
94 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (2 · 𝑛) → (2 · 𝑚) = (2 · (2 · 𝑛)))
9594fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (2 · 𝑛) → (√‘(2 · 𝑚)) = (√‘(2 · (2 · 𝑛))))
96 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (2 · 𝑛) → (𝑚 / e) = ((2 · 𝑛) / e))
97 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (2 · 𝑛) → 𝑚 = (2 · 𝑛))
9896, 97oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((𝑚 / e)↑𝑚) = (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))
9995, 98oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
10093, 99oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))) = ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))))
101100adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 = (2 · 𝑛)) → ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))) = ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))))
102 2nn 11129 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
104 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
105103, 104nnmulcld 11012 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
10657, 63, 75divcld 10745 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))) ∈ ℂ)
10792, 101, 105, 106fvmptd 6245 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))))
108107oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) = (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2))
109108eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
110109oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
111 eqidd 2622 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
11299adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 = (2 · 𝑛)) → ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
113111, 112, 105, 63fvmptd 6245 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
114113oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2))
115114eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2))
116115oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
11781, 110, 1163eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
11888cbvmptv 4710 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))
119118a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
120119fveq1d 6150 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)))
121120eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)))
122121oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2))
123122oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
124107, 106eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
125 stirlinglem3.2 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
126125fvmpt2 6248 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
127124, 126mpdan 701 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
128127eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = (𝐷𝑛))
129128oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) = ((𝐷𝑛)↑2))
13035a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
131130fveq1d 6150 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)))
132131eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)) = (𝐸‘(2 · 𝑛)))
133132oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2) = ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))
134129, 133oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))
135117, 123, 1343eqtrd 2659 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))
13651, 135oveq12d 6622 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
137136oveq1d 6619 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
138137mpteq2ia 4700 . 2 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
13941, 2nn0mulcld 11300 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4 · 𝑛) ∈ ℕ0)
1406, 139expcld 12948 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
14149, 44eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) ∈ ℂ)
142140, 141mulcomd 10005 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4))) = ((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))))
143142oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
144143oveq1d 6619 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
145127, 124eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ ℂ)
146145sqcld 12946 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ)
147130, 119eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝐸 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
148147, 112, 105, 63fvmptd 6245 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
149148, 63eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
150149sqcld 12946 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
151 nnne0 10997 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
15254, 55, 1513syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
15357, 63, 152, 75divne0d 10761 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))) ≠ 0)
154107, 153eqnetrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
155127, 154eqnetrd 2857 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ≠ 0)
156145, 155, 72expne0d 12954 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷𝑛)↑2) ≠ 0)
157148, 75eqnetrd 2857 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
158149, 157, 72expne0d 12954 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) ≠ 0)
159141, 146, 140, 150, 156, 158divmuldivd 10786 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
160159eqcomd 2627 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
161160oveq1d 6619 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
16233, 30eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
163162, 41expcld 12948 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ)
16438, 45eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸𝑛)↑4) ∈ ℂ)
165163, 164, 146, 156div23d 10782 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) / ((𝐷𝑛)↑2)) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝐸𝑛)↑4)))
166165oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝐸𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
167166oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝐸𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
168163, 146, 156divcld 10745 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℂ)
169140, 150, 158divcld 10745 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) ∈ ℂ)
170168, 164, 169mulassd 10007 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝐸𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · (((𝐸𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))))
171170oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝐸𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · (((𝐸𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
172164, 169mulcld 10004 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) ∈ ℂ)
173 1cnd 10000 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1748, 173addcld 10003 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
175 0red 9985 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
176105nnred 10979 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
177 2re 11034 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
179 nnre 10971 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
180178, 179remulcld 10014 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
181 1red 9999 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
182180, 181readdcld 10013 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
183105nngt0d 11008 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
184176ltp1d 10898 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) < ((2 · 𝑛) + 1))
185175, 176, 182, 183, 184lttrd 10142 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
186185gt0ne0d 10536 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
187168, 172, 174, 186divassd 10780 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · (((𝐸𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((((𝐸𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))))
188164, 140, 150, 158div12d 10781 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐸𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
1899, 17, 41mulexpd 12963 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) = (((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)))
19060, 62sqmuld 12960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))
191189, 190oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
192148oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2))
19338, 192oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
1949, 41expcld 12948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) ∈ ℂ)
19560sqcld 12946 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) ∈ ℂ)
19617, 41expcld 12948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) ∈ ℂ)
19762sqcld 12946 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
19860, 67, 72expne0d 12954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) ≠ 0)
19962, 74, 72expne0d 12954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) ≠ 0)
200194, 195, 196, 197, 198, 199divmuldivd 10786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
201191, 193, 2003eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
202201oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐸𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))))
20365rprege0d 11823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (2 · 𝑛))))
204 resqrtth 13930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (2 · 𝑛))) → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) = (2 · (2 · 𝑛)))
205203, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) = (2 · (2 · 𝑛)))
206205oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) = (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / (2 · (2 · 𝑛))))
207 2t2e4 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 2) = 4
208207eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 = (2 · 2)
209208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 4 = (2 · 2))
210209oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) = ((√‘(2 · 𝑛))↑(2 · 2)))
2119, 53, 53expmuld 12951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑(2 · 2)) = (((√‘(2 · 𝑛))↑2)↑2))
21222rprege0d 11823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛)))
213 resqrtth 13930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛)) → ((√‘(2 · 𝑛))↑2) = (2 · 𝑛))
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑2) = (2 · 𝑛))
215214oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑2)↑2) = ((2 · 𝑛)↑2))
216210, 211, 2153eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) = ((2 · 𝑛)↑2))
2176, 6, 7mulassd 10007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑛) = (2 · (2 · 𝑛)))
218207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
219218oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑛) = (4 · 𝑛))
220217, 219eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) = (4 · 𝑛))
221216, 220oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / (2 · (2 · 𝑛))) = (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)))
2226, 7sqmuld 12960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑2) = ((2↑2) · (𝑛↑2)))
223 sq2 12900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2↑2) = 4
224223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
225224oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑛↑2)) = (4 · (𝑛↑2)))
226222, 225eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑2) = (4 · (𝑛↑2)))
227226oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)) = ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)))
228 4cn 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℂ
229 4ne0 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ≠ 0
230228, 229dividi 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 / 4) = 1
231230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (4 / 4) = 1)
2327sqvald 12945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) = (𝑛 · 𝑛))
233232oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / 𝑛) = ((𝑛 · 𝑛) / 𝑛))
2347, 7, 25divcan4d 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 · 𝑛) / 𝑛) = 𝑛)
235233, 234eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / 𝑛) = 𝑛)
236231, 235oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / 4) · ((𝑛↑2) / 𝑛)) = (1 · 𝑛))
23741nn0cnd 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
2387sqcld 12946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
239229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
240237, 237, 238, 7, 239, 25divmuldivd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / 4) · ((𝑛↑2) / 𝑛)) = ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)))
2417mulid2d 10002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
242236, 240, 2413eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)) = 𝑛)
243227, 242eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)) = 𝑛)
244206, 221, 2433eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) = 𝑛)
2457, 237mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 4) = (4 · 𝑛))
246245oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(𝑛 · 4)) = ((𝑛 / e)↑(4 · 𝑛)))
24716, 41, 2expmuld 12951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(𝑛 · 4)) = (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4))
2487, 12, 15, 139expdivd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(4 · 𝑛)) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
249246, 247, 2483eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
2506, 7, 6mul32d 10190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) · 2) = ((2 · 2) · 𝑛))
251250, 219eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) · 2) = (4 · 𝑛))
252251oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑((2 · 𝑛) · 2)) = (((2 · 𝑛) / e)↑(4 · 𝑛)))
25361, 53, 54expmuld 12951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑((2 · 𝑛) · 2)) = ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))
2548, 12, 15, 139expdivd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(4 · 𝑛)) = (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
255252, 253, 2543eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) = (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
256249, 255oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) / (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛)))))
257249, 196eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) ∈ ℂ)
2588, 139expcld 12948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
25912, 139expcld 12948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (e↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
26046, 27zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (4 · 𝑛) ∈ ℤ)
2618, 69, 260expne0d 12954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
26212, 15, 260expne0d 12954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (e↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
263257, 258, 259, 261, 262divdiv2d 10777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) / (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛)))) = ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))))
2647, 139expcld 12948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
265264, 259, 262divcan1d 10746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) = (𝑛↑(4 · 𝑛)))
266265oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))))
2676, 7, 139mulexpd 12963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛))))
268267oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))))
269140, 264mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛))))
270269oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛)))))
2717, 25, 260expne0d 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
2726, 68, 260expne0d 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
273264, 264, 140, 271, 272divdiv1d 10776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) / (2↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛)))))
274264, 271dividd 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) = 1)
275274oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) / (2↑(4 · 𝑛))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
276270, 273, 2753eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
277266, 268, 2763eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
278256, 263, 2773eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
279244, 278oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))) = (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛)))))
280279oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))))
281140, 272reccld 10738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (2↑(4 · 𝑛))) ∈ ℂ)
282140, 7, 281mul12d 10189 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))))
2837mulid1d 10001 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
284140, 272recidd 10740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛)))) = 1)
285284oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = (𝑛 · 1))
286283, 285, 2353eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
287280, 282, 2863eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
288188, 202, 2873eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
289288oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐸𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((𝑛↑2) / 𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
290238, 7, 174, 25, 186divdiv1d 10776 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) / 𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
291289, 290eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐸𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
292291oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((((𝐸𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
293187, 292eqtrd 2655 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · (((𝐸𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
294167, 171, 2933eqtrd 2659 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4)) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
295144, 161, 2943eqtrd 2659 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
296295mpteq2ia 4700 . 2 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴𝑛)↑4) · ((𝐸𝑛)↑4))) / (((𝐷𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
2971, 138, 2963eqtri 2647 1 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cle 10019   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  4c4 11016  0cn0 11236  cz 11321  +crp 11776  cexp 12800  !cfa 13000  csqrt 13907  eceu 14718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-e 14724
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  39612
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