Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem4 39601
Description: Algebraic manipulation of ((𝐵 n ) - ( B (𝑛 + 1))). It will be used in other theorems to show that 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem4.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem4.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem4.3 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (𝐽𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐽(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10971 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 nnnn0 11243 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0ge0d 11298 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
41, 3ge0p1rpd 11846 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
5 nnrp 11786 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
64, 5rpdivcld 11833 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
76rpsqrtcld 14084 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
8 nnz 11343 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
96, 8rpexpcld 12972 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁) ∈ ℝ+)
107, 9rpmulcld 11832 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) ∈ ℝ+)
11 epr 14861 . . . . 5 e ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
1310, 12relogdivd 24276 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)) = ((log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) − (log‘e)))
147, 9relogmuld 24275 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = ((log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))))
15 logsqrt 24350 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+ → (log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2))
166, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2))
17 relogexp 24246 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
186, 8, 17syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
1916, 18oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
2014, 19eqtrd 2655 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
21 peano2nn 10976 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2221nncnd 10980 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
23 nncn 10972 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24 nnne0 10997 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2522, 23, 24divcld 10745 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
2621nnne0d 11009 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
2722, 23, 26, 24divne0d 10761 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ≠ 0)
2825, 27logcld 24221 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
29 2cnd 11037 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
30 2rp 11781 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3231rpne0d 11821 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
3328, 29, 32divrec2d 10749 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) = ((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
3433oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))) = (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
35 1cnd 10000 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3635halfcld 11221 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
3736, 23, 28adddird 10009 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) + 𝑁) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
3823, 29, 32divcan4d 10751 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 2) / 2) = 𝑁)
3923, 29mulcomd 10005 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
4039oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 2) / 2) = ((2 · 𝑁) / 2))
4138, 40eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2 · 𝑁) / 2))
4241oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
4329, 23mulcld 10004 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
4435, 43, 29, 32divdird 10783 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) = ((1 / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
4542, 44eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
4645oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) + 𝑁) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
4737, 46eqtr3d 2657 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
4820, 34, 473eqtrd 2659 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
49 loge 24237 . . . . 5 (log‘e) = 1
5049a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘e) = 1)
5148, 50oveq12d 6622 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) − (log‘e)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
5213, 51eqtrd 2655 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
53 stirlinglem4.1 . . . . . . 7 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
5453stirlinglem2 39599 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
5554relogcld 24273 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
56 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑛𝑁
57 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑛log
58 nfmpt1 4707 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
5953, 58nfcxfr 2759 . . . . . . . 8 𝑛𝐴
6059, 56nffv 6155 . . . . . . 7 𝑛(𝐴𝑁)
6157, 60nffv 6155 . . . . . 6 𝑛(log‘(𝐴𝑁))
62 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑁))
6362fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑁)))
64 stirlinglem4.2 . . . . . 6 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
6556, 61, 63, 64fvmptf 6257 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
6655, 65mpdan 701 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
67 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘(log‘(𝐴𝑛))
68 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑘
6959, 68nffv 6155 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐴𝑘)
7057, 69nffv 6155 . . . . . . . 8 𝑛(log‘(𝐴𝑘))
71 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
7271fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑘)))
7367, 70, 72cbvmpt 4709 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑘)))
7464, 73eqtri 2643 . . . . . 6 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑘)))
7574a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑘))))
76 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
7776fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) = (𝐴‘(𝑁 + 1)))
7877fveq2d 6152 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (log‘(𝐴𝑘)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
7953stirlinglem2 39599 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
8021, 79syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
8180relogcld 24273 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
8275, 78, 21, 81fvmptd 6245 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8366, 82oveq12d 6622 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = ((log‘(𝐴𝑁)) − (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))))
8454, 80relogdivd 24276 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1)))) = ((log‘(𝐴𝑁)) − (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))))
85 faccl 13010 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
86 nnrp 11786 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
872, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
8831, 5rpmulcld 11832 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
8988rpsqrtcld 14084 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
905, 12rpdivcld 11833 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / e) ∈ ℝ+)
9190, 8rpexpcld 12972 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℝ+)
9289, 91rpmulcld 11832 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℝ+)
9387, 92rpdivcld 11833 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
9453a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
95 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
9695fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
9795oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
9897fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑁)))
9995oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑛 / e) = (𝑁 / e))
10099, 95oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑁 / e)↑𝑁))
10198, 100oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)))
10296, 101oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
103 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
10487rpcnd 11818 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
105104adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
106 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
107103nncnd 10980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℂ)
108106, 107mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
109108sqrtcld 14110 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
110 ere 14744 . . . . . . . . . . . . . 14 e ∈ ℝ
111110recni 9996 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℂ
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → e ∈ ℂ)
113 0re 9984 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
114 epos 14860 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < e
115113, 114gtneii 10093 . . . . . . . . . . . . 13 e ≠ 0
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → e ≠ 0)
117107, 112, 116divcld 10745 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝑁 / e) ∈ ℂ)
118103nnnn0d 11295 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
119117, 118expcld 12948 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℂ)
120109, 119mulcld 10004 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℂ)
12189rpne0d 11821 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
122121adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
123103nnne0d 11009 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ≠ 0)
124107, 112, 123, 116divne0d 10761 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝑁 / e) ≠ 0)
125103nnzd 11425 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
126117, 124, 125expne0d 12954 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((𝑁 / e)↑𝑁) ≠ 0)
127109, 119, 122, 126mulne0d 10623 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ≠ 0)
128105, 120, 127divcld 10745 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℂ)
12994, 102, 103, 128fvmptd 6245 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝐴𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
13093, 129mpdan 701 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
131 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑘((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
132 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑛((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
133 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
134 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
135134fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
136 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
137 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
138136, 137oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
139135, 138oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
140133, 139oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
141131, 132, 140cbvmpt 4709 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
14253, 141eqtri 2643 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
143142a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))))
14476fveq2d 6152 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑁 + 1)))
14576oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑁 + 1)))
146145fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (√‘(2 · 𝑘)) = (√‘(2 · (𝑁 + 1))))
14776oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑘 / e) = ((𝑁 + 1) / e))
148147, 76oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((𝑘 / e)↑𝑘) = (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))
149146, 148oveq12d 6622 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) = ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
150144, 149oveq12d 6622 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
15121nnnn0d 11295 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
152 faccl 13010 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
153 nnrp 11786 . . . . . . . . 9 ((!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
154151, 152, 1533syl 18 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
15531, 4rpmulcld 11832 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
156155rpsqrtcld 14084 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ+)
1574, 12rpdivcld 11833 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / e) ∈ ℝ+)
1588peano2zd 11429 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
159157, 158rpexpcld 12972 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
160156, 159rpmulcld 11832 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ+)
161154, 160rpdivcld 11833 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℝ+)
162143, 150, 21, 161fvmptd 6245 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
163130, 162oveq12d 6622 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1))) = (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
164 facp1 13005 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
1652, 164syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
166165oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
167160rpcnd 11818 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
168160rpne0d 11821 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ≠ 0)
169104, 22, 167, 168divassd 10780 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
170166, 169eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
171170oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))))
17292rpcnd 11818 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℂ)
17322, 167, 168divcld 10745 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
174104, 173mulcld 10004 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) ∈ ℂ)
17592rpne0d 11821 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ≠ 0)
17687rpne0d 11821 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
17722, 167, 26, 168divne0d 10761 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ≠ 0)
178104, 173, 176, 177mulne0d 10623 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) ≠ 0)
179104, 172, 174, 175, 178divdiv32d 10770 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) = (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
180104, 104, 173, 176, 177divdiv1d 10776 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = ((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))))
181180eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) = (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
182181oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
183104, 176dividd 10743 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) = 1)
184183oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
185184oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
18622, 167, 26, 168recdivd 10762 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
187186oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
188167, 22, 26divcld 10745 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
18989rpcnd 11818 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
19091rpcnd 11818 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℂ)
19191rpne0d 11821 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ≠ 0)
192188, 189, 190, 121, 191divdiv1d 10776 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
193167, 22, 189, 26, 121divdiv32d 10770 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) / (𝑁 + 1)))
194156rpcnd 11818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
195159rpcnd 11818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
196194, 195, 189, 121div23d 10782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
19731rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
19831rpge0d 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
19921nnred 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
200151nn0ge0d 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 + 1))
201197, 198, 199, 200sqrtmuld 14097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) = ((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))))
202197, 198, 1, 3sqrtmuld 14097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) = ((√‘2) · (√‘𝑁)))
203201, 202oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))) / ((√‘2) · (√‘𝑁))))
20429sqrtcld 14110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ ℂ)
20522sqrtcld 14110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
20623sqrtcld 14110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
20731rpsqrtcld 14084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ ℝ+)
208207rpne0d 11821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ≠ 0)
2095rpsqrtcld 14084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ∈ ℝ+)
210209rpne0d 11821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ≠ 0)
211204, 204, 205, 206, 208, 210divmuldivd 10786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘2) / (√‘2)) · ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁))) = (((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))) / ((√‘2) · (√‘𝑁))))
212204, 208dividd 10743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘2) / (√‘2)) = 1)
213199, 200, 5sqrtdivd 14096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁)))
214213eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁)) = (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
215212, 214oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘2) / (√‘2)) · ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁))) = (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
216203, 211, 2153eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
217216oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) = ((1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
21825sqrtcld 14110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
219218mulid2d 10002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
220219oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
221196, 217, 2203eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
222221oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
223193, 222eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
224223oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)))
225192, 224eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)))
226218, 195mulcld 10004 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
227226, 22, 190, 26, 191divdiv32d 10770 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) / (𝑁 + 1)))
228218, 195, 190, 191divassd 10780 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁))))
22912rpcnd 11818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
23012rpne0d 11821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → e ≠ 0)
23122, 229, 230, 151expdivd 12962 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))))
23223, 229, 230, 2expdivd 12962 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) = ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁)))
233231, 232oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁))))
234233oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁)))))
23522, 151expcld 12948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
236229, 151expcld 12948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
23723, 2expcld 12948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑁) ∈ ℂ)
238229, 2expcld 12948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑𝑁) ∈ ℂ)
239229, 230, 158expne0d 12954 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) ≠ 0)
240229, 230, 8expne0d 12954 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑𝑁) ≠ 0)
24123, 24, 8expne0d 12954 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑁) ≠ 0)
242235, 236, 237, 238, 239, 240, 241divdivdivd 10792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁))) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))))
243235, 238mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) = ((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))))
244243oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))) = (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))))
245238, 236, 235, 237, 239, 241divmuldivd 10786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))))
246229, 2expp1d 12949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) = ((e↑𝑁) · e))
247246oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) = ((e↑𝑁) / ((e↑𝑁) · e)))
248238, 238, 229, 240, 230divdiv1d 10776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) / e) = ((e↑𝑁) / ((e↑𝑁) · e)))
249238, 240dividd 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) = 1)
250249oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) / e) = (1 / e))
251247, 248, 2503eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) = (1 / e))
252251oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))))
253245, 252eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))))
254242, 244, 2533eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))))
255254oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁)))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))))
256228, 234, 2553eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))))
257256oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) / (𝑁 + 1)))
258235, 237, 241divcld 10745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) ∈ ℂ)
25935, 229, 258, 230div32d 10768 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = (1 · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)))
260258, 229, 230divcld 10745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e) ∈ ℂ)
261260mulid2d 10002 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e))
262259, 261eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e))
263262oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)))
264229, 230reccld 10738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / e) ∈ ℂ)
265264, 258mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) ∈ ℂ)
266218, 265, 22, 26div23d 10782 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))))
267218, 22, 26divcld 10745 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
268267, 258, 229, 230divassd 10780 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)))
269263, 266, 2683eqtr4d 2665 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) / (𝑁 + 1)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
270227, 257, 2693eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
271187, 225, 2703eqtrd 2659 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
272182, 185, 2713eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
273171, 179, 2723eqtrd 2659 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
274218, 22, 258, 26div32d 10768 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1))))
27522, 2expp1d 12949 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)))
276275oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)))
27722, 2expcld 12948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑𝑁) ∈ ℂ)
278277, 22, 26divcan4d 10751 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1)↑𝑁))
279276, 278eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1)↑𝑁))
280279oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) / (𝑁𝑁)))
281235, 237, 22, 241, 26divdiv32d 10770 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))
28222, 23, 24, 2expdivd 12962 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) / (𝑁𝑁)))
283280, 281, 2823eqtr4d 2665 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))
284283oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)))
285274, 284eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)))
286285oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e))
287163, 273, 2863eqtrd 2659 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e))
288287fveq2d 6152 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1)))) = (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)))
28983, 84, 2883eqtr2d 2661 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)))
29035, 43addcld 10003 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
291290halfcld 11221 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
292291, 28mulcld 10004 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
293292, 35subcld 10336 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
294 stirlinglem4.3 . . . . 5 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
295294a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)))
296 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
297296oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
298297oveq2d 6620 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (1 + (2 · 𝑛)) = (1 + (2 · 𝑁)))
299298oveq1d 6619 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((1 + (2 · 𝑛)) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
300296oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑛 + 1) = (𝑁 + 1))
301300, 296oveq12d 6622 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
302301fveq2d 6152 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
303299, 302oveq12d 6622 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
304303oveq1d 6619 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
305 simpl 473 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
306 simpr 477 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
307295, 304, 305, 306fvmptd 6245 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → (𝐽𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
308293, 307mpdan 701 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐽𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
30952, 289, 3083eqtr4d 2665 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (𝐽𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  +crp 11776  cexp 12800  !cfa 13000  csqrt 13907  eceu 14718  logclog 24205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-e 14724  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-cxp 24208
This theorem is referenced by:  stirlinglem9  39606
  Copyright terms: Public domain W3C validator