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Theorem stirlinglem4 42239
Description: Algebraic manipulation of ((𝐵 n ) - ( B (𝑛 + 1))). It will be used in other theorems to show that 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem4.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem4.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem4.3 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (𝐽𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐽(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 11633 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 nnnn0 11892 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0ge0d 11946 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
41, 3ge0p1rpd 12449 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
5 nnrp 12388 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
64, 5rpdivcld 12436 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
76rpsqrtcld 14759 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
8 nnz 11992 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
96, 8rpexpcld 13596 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁) ∈ ℝ+)
107, 9rpmulcld 12435 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) ∈ ℝ+)
11 epr 15549 . . . . 5 e ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
1310, 12relogdivd 25136 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)) = ((log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) − (log‘e)))
147, 9relogmuld 25135 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = ((log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))))
15 logsqrt 25214 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+ → (log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2))
166, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2))
17 relogexp 25106 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
186, 8, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
1916, 18oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
2014, 19eqtrd 2853 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
21 peano2nn 11638 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2221nncnd 11642 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
23 nncn 11634 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24 nnne0 11659 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2522, 23, 24divcld 11404 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
2621nnne0d 11675 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
2722, 23, 26, 24divne0d 11420 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ≠ 0)
2825, 27logcld 25081 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
29 2cnd 11703 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
30 2rp 12382 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3231rpne0d 12424 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
3328, 29, 32divrec2d 11408 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) = ((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
3433oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))) = (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
35 1cnd 10624 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3635halfcld 11870 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
3736, 23, 28adddird 10654 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) + 𝑁) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
3823, 29, 32divcan4d 11410 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 2) / 2) = 𝑁)
3923, 29mulcomd 10650 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
4039oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 2) / 2) = ((2 · 𝑁) / 2))
4138, 40eqtr3d 2855 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2 · 𝑁) / 2))
4241oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
4329, 23mulcld 10649 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
4435, 43, 29, 32divdird 11442 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) = ((1 / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
4542, 44eqtr4d 2856 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
4645oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) + 𝑁) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
4737, 46eqtr3d 2855 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
4820, 34, 473eqtrd 2857 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
49 loge 25097 . . . . 5 (log‘e) = 1
5049a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘e) = 1)
5148, 50oveq12d 7163 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) − (log‘e)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
5213, 51eqtrd 2853 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
53 stirlinglem4.1 . . . . . . 7 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
5453stirlinglem2 42237 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
5554relogcld 25133 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
56 nfcv 2974 . . . . . 6 𝑛𝑁
57 nfcv 2974 . . . . . . 7 𝑛log
58 nfmpt1 5155 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
5953, 58nfcxfr 2972 . . . . . . . 8 𝑛𝐴
6059, 56nffv 6673 . . . . . . 7 𝑛(𝐴𝑁)
6157, 60nffv 6673 . . . . . 6 𝑛(log‘(𝐴𝑁))
62 2fveq3 6668 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑁)))
63 stirlinglem4.2 . . . . . 6 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
6456, 61, 62, 63fvmptf 6781 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
6555, 64mpdan 683 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
66 nfcv 2974 . . . . . . . 8 𝑘(log‘(𝐴𝑛))
67 nfcv 2974 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑘
6859, 67nffv 6673 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐴𝑘)
6957, 68nffv 6673 . . . . . . . 8 𝑛(log‘(𝐴𝑘))
70 2fveq3 6668 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑘)))
7166, 69, 70cbvmpt 5158 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑘)))
7263, 71eqtri 2841 . . . . . 6 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑘)))
7372a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑘))))
74 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
7574fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) = (𝐴‘(𝑁 + 1)))
7675fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (log‘(𝐴𝑘)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
7753stirlinglem2 42237 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7821, 77syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7978relogcld 25133 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
8073, 76, 21, 79fvmptd 6767 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8165, 80oveq12d 7163 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = ((log‘(𝐴𝑁)) − (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))))
8254, 78relogdivd 25136 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1)))) = ((log‘(𝐴𝑁)) − (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))))
83 faccl 13631 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
84 nnrp 12388 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
852, 83, 843syl 18 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
8631, 5rpmulcld 12435 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
8786rpsqrtcld 14759 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
885, 12rpdivcld 12436 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / e) ∈ ℝ+)
8988, 8rpexpcld 13596 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℝ+)
9087, 89rpmulcld 12435 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℝ+)
9185, 90rpdivcld 12436 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
9253a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
93 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
9493fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
9593oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
9695fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑁)))
9793oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑛 / e) = (𝑁 / e))
9897, 93oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑁 / e)↑𝑁))
9996, 98oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)))
10094, 99oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
101 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
10285rpcnd 12421 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
103102adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
104 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
105101nncnd 11642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℂ)
106104, 105mulcld 10649 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
107106sqrtcld 14785 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
108 ere 15430 . . . . . . . . . . . . . 14 e ∈ ℝ
109108recni 10643 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℂ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → e ∈ ℂ)
111 0re 10631 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
112 epos 15548 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < e
113111, 112gtneii 10740 . . . . . . . . . . . . 13 e ≠ 0
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → e ≠ 0)
115105, 110, 114divcld 11404 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝑁 / e) ∈ ℂ)
116101nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
117115, 116expcld 13498 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℂ)
118107, 117mulcld 10649 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℂ)
11987rpne0d 12424 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
120119adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
121101nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ≠ 0)
122105, 110, 121, 114divne0d 11420 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝑁 / e) ≠ 0)
123101nnzd 12074 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
124115, 122, 123expne0d 13504 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((𝑁 / e)↑𝑁) ≠ 0)
125107, 117, 120, 124mulne0d 11280 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ≠ 0)
126103, 118, 125divcld 11404 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℂ)
12792, 100, 101, 126fvmptd 6767 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝐴𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
12891, 127mpdan 683 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
129 nfcv 2974 . . . . . . . . . 10 𝑘((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
130 nfcv 2974 . . . . . . . . . 10 𝑛((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
131 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
132 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
133132fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
134 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
135 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
136134, 135oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
137133, 136oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
138131, 137oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
139129, 130, 138cbvmpt 5158 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
14053, 139eqtri 2841 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
141140a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))))
14274fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑁 + 1)))
14374oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑁 + 1)))
144143fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (√‘(2 · 𝑘)) = (√‘(2 · (𝑁 + 1))))
14574oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑘 / e) = ((𝑁 + 1) / e))
146145, 74oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((𝑘 / e)↑𝑘) = (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))
147144, 146oveq12d 7163 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) = ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
148142, 147oveq12d 7163 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
14921nnnn0d 11943 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
150 faccl 13631 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
151 nnrp 12388 . . . . . . . . 9 ((!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
15331, 4rpmulcld 12435 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
154153rpsqrtcld 14759 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ+)
1554, 12rpdivcld 12436 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / e) ∈ ℝ+)
1568peano2zd 12078 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
157155, 156rpexpcld 13596 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
158154, 157rpmulcld 12435 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ+)
159152, 158rpdivcld 12436 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℝ+)
160141, 148, 21, 159fvmptd 6767 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
161128, 160oveq12d 7163 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1))) = (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
162 facp1 13626 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
1632, 162syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
164163oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
165158rpcnd 12421 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
166158rpne0d 12424 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ≠ 0)
167102, 22, 165, 166divassd 11439 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
168164, 167eqtrd 2853 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
169168oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))))
17090rpcnd 12421 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℂ)
17122, 165, 166divcld 11404 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
172102, 171mulcld 10649 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) ∈ ℂ)
17390rpne0d 12424 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ≠ 0)
17485rpne0d 12424 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
17522, 165, 26, 166divne0d 11420 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ≠ 0)
176102, 171, 174, 175mulne0d 11280 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) ≠ 0)
177102, 170, 172, 173, 176divdiv32d 11429 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) = (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
178102, 102, 171, 174, 175divdiv1d 11435 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = ((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))))
179178eqcomd 2824 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) = (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
180179oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
181102, 174dividd 11402 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) = 1)
182181oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
183182oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
18422, 165, 26, 166recdivd 11421 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
185184oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
186165, 22, 26divcld 11404 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
18787rpcnd 12421 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
18889rpcnd 12421 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℂ)
18989rpne0d 12424 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ≠ 0)
190186, 187, 188, 119, 189divdiv1d 11435 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
191165, 22, 187, 26, 119divdiv32d 11429 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) / (𝑁 + 1)))
192154rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
193157rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
194192, 193, 187, 119div23d 11441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
19531rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
19631rpge0d 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
19721nnred 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
198149nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 + 1))
199195, 196, 197, 198sqrtmuld 14772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) = ((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))))
200195, 196, 1, 3sqrtmuld 14772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) = ((√‘2) · (√‘𝑁)))
201199, 200oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))) / ((√‘2) · (√‘𝑁))))
20229sqrtcld 14785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ ℂ)
20322sqrtcld 14785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
20423sqrtcld 14785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
20531rpsqrtcld 14759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ ℝ+)
206205rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ≠ 0)
2075rpsqrtcld 14759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ∈ ℝ+)
208207rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ≠ 0)
209202, 202, 203, 204, 206, 208divmuldivd 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘2) / (√‘2)) · ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁))) = (((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))) / ((√‘2) · (√‘𝑁))))
210202, 206dividd 11402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘2) / (√‘2)) = 1)
211197, 198, 5sqrtdivd 14771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁)))
212211eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁)) = (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
213210, 212oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘2) / (√‘2)) · ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁))) = (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
214201, 209, 2133eqtr2d 2859 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
215214oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) = ((1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
21625sqrtcld 14785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
217216mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
218217oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
219194, 215, 2183eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
220219oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
221191, 220eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
222221oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)))
223190, 222eqtr3d 2855 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)))
224216, 193mulcld 10649 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
225224, 22, 188, 26, 189divdiv32d 11429 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) / (𝑁 + 1)))
226216, 193, 188, 189divassd 11439 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁))))
22712rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
22812rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → e ≠ 0)
22922, 227, 228, 149expdivd 13512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))))
23023, 227, 228, 2expdivd 13512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) = ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁)))
231229, 230oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁))))
232231oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁)))))
23322, 149expcld 13498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
234227, 149expcld 13498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
23523, 2expcld 13498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑁) ∈ ℂ)
236227, 2expcld 13498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑𝑁) ∈ ℂ)
237227, 228, 156expne0d 13504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) ≠ 0)
238227, 228, 8expne0d 13504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑𝑁) ≠ 0)
23923, 24, 8expne0d 13504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑁) ≠ 0)
240233, 234, 235, 236, 237, 238, 239divdivdivd 11451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁))) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))))
241233, 236mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) = ((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))))
242241oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))) = (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))))
243236, 234, 233, 235, 237, 239divmuldivd 11445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))))
244227, 2expp1d 13499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) = ((e↑𝑁) · e))
245244oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) = ((e↑𝑁) / ((e↑𝑁) · e)))
246236, 236, 227, 238, 228divdiv1d 11435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) / e) = ((e↑𝑁) / ((e↑𝑁) · e)))
247236, 238dividd 11402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) = 1)
248247oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) / e) = (1 / e))
249245, 246, 2483eqtr2d 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) = (1 / e))
250249oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))))
251243, 250eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))))
252240, 242, 2513eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))))
253252oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁)))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))))
254226, 232, 2533eqtrd 2857 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))))
255254oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) / (𝑁 + 1)))
256233, 235, 239divcld 11404 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) ∈ ℂ)
25735, 227, 256, 228div32d 11427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = (1 · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)))
258256, 227, 228divcld 11404 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e) ∈ ℂ)
259258mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e))
260257, 259eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e))
261260oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)))
262227, 228reccld 11397 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / e) ∈ ℂ)
263262, 256mulcld 10649 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) ∈ ℂ)
264216, 263, 22, 26div23d 11441 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))))
265216, 22, 26divcld 11404 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
266265, 256, 227, 228divassd 11439 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)))
267261, 264, 2663eqtr4d 2863 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) / (𝑁 + 1)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
268225, 255, 2673eqtrd 2857 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
269185, 223, 2683eqtrd 2857 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
270180, 183, 2693eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
271169, 177, 2703eqtrd 2857 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
272216, 22, 256, 26div32d 11427 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1))))
27322, 2expp1d 13499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)))
274273oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)))
27522, 2expcld 13498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑𝑁) ∈ ℂ)
276275, 22, 26divcan4d 11410 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1)↑𝑁))
277274, 276eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1)↑𝑁))
278277oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) / (𝑁𝑁)))
279233, 235, 22, 239, 26divdiv32d 11429 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))
28022, 23, 24, 2expdivd 13512 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) / (𝑁𝑁)))
281278, 279, 2803eqtr4d 2863 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))
282281oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)))
283272, 282eqtrd 2853 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)))
284283oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e))
285161, 271, 2843eqtrd 2857 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e))
286285fveq2d 6667 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1)))) = (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)))
28781, 82, 2863eqtr2d 2859 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)))
28835, 43addcld 10648 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
289288halfcld 11870 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
290289, 28mulcld 10649 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
291290, 35subcld 10985 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
292 stirlinglem4.3 . . . . 5 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
293292a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)))
294 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
295294oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
296295oveq2d 7161 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (1 + (2 · 𝑛)) = (1 + (2 · 𝑁)))
297296oveq1d 7160 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((1 + (2 · 𝑛)) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
298294oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑛 + 1) = (𝑁 + 1))
299298, 294oveq12d 7163 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
300299fveq2d 6667 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
301297, 300oveq12d 7163 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
302301oveq1d 7160 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
303 simpl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
304 simpr 485 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
305293, 302, 303, 304fvmptd 6767 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → (𝐽𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
306291, 305mpdan 683 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐽𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
30752, 287, 3063eqtr4d 2863 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (𝐽𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  +crp 12377  cexp 13417  !cfa 13621  csqrt 14580  eceu 15404  logclog 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-e 15410  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068
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