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Theorem stirlinglem5 42240
Description: If 𝑇 is between 0 and 1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log((1+T)/(1-T)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem5.1 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
stirlinglem5.2 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))
stirlinglem5.3 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
stirlinglem5.4 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))))
stirlinglem5.5 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
stirlinglem5.6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
stirlinglem5.7 (𝜑 → (abs‘𝑇) < 1)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem5 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑗   𝑇,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝐻(𝑗)

Proof of Theorem stirlinglem5
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12269 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12001 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 stirlinglem5.1 . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
5 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
65negcld 10972 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
7 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
87adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
96, 8expcld 13498 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
10 nncn 11634 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
12 stirlinglem5.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
1312rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1413recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
16 nnnn0 11892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1815, 17expcld 13498 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑇𝑗) ∈ ℂ)
19 nnne0 11659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≠ 0)
219, 11, 18, 20div32d 11427 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (𝑇𝑗)) = ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
225, 15pncan2d 10987 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((1 + 𝑇) − 1) = 𝑇)
2322eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑇 = ((1 + 𝑇) − 1))
2423oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑇𝑗) = (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))
2524oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (𝑇𝑗)) = (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))
2621, 25eqtr3d 2855 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))
2726mpteq2dva 5152 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))))
284, 27eqtrd 2853 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))))
2928seqeq3d 13365 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐷) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))))
30 1cnd 10624 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3130, 14addcld 10648 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ ℂ)
32 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3332cnmetdval 23306 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 + 𝑇) ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) = (abs‘(1 − (1 + 𝑇))))
3430, 31, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) = (abs‘(1 − (1 + 𝑇))))
35 1m1e0 11697 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 1) = 0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
3736oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 1) − 𝑇) = (0 − 𝑇))
3830, 30, 14subsub4d 11016 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 1) − 𝑇) = (1 − (1 + 𝑇)))
39 df-neg 10861 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝑇 = (0 − 𝑇)
4039eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (0 − 𝑇) = -𝑇
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 − 𝑇) = -𝑇)
4237, 38, 413eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (1 + 𝑇)) = -𝑇)
4342fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(1 − (1 + 𝑇))) = (abs‘-𝑇))
4414absnegd 14797 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝑇) = (abs‘𝑇))
45 stirlinglem5.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝑇) < 1)
4644, 45eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘-𝑇) < 1)
4743, 46eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(1 − (1 + 𝑇))) < 1)
4834, 47eqbrtrd 5079 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1)
49 cnxmet 23308 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
51 1red 10630 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5251rexrd 10679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
53 elbl2 22927 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ (1 + 𝑇) ∈ ℂ)) → ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1))
5450, 52, 30, 31, 53syl22anc 834 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1))
5548, 54mpbird 258 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
56 eqid 2818 . . . . . . . 8 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
5756logtayl2 25172 . . . . . . 7 ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
5855, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
5929, 58eqbrtrd 5079 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐷) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
60 seqex 13359 . . . . . 6 seq1( + , 𝐹) ∈ V
6160a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
62 stirlinglem5.2 . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
6463seqeq3d 13365 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐸) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
65 logtayl 25170 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑇) < 1) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
6614, 45, 65syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
6764, 66eqbrtrd 5079 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐸) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
68 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6968, 1eleqtrdi 2920 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
70 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 − 1) = (𝑛 − 1))
7170oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
72 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑛 → (𝑇𝑗) = (𝑇𝑛))
73 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑛𝑗 = 𝑛)
7472, 73oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 → ((𝑇𝑗) / 𝑗) = ((𝑇𝑛) / 𝑛))
7571, 74oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
76 elfznn 12924 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
7776adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
78 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
7978negcld 10972 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
80 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
8179, 80expcld 13498 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
8277, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
8314ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑇 ∈ ℂ)
8477nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8583, 84expcld 13498 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
8677nncnd 11642 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℂ)
8777nnne0d 11675 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ≠ 0)
8885, 86, 87divcld 11404 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
8982, 88mulcld 10649 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
903, 75, 77, 89fvmptd3 6783 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐷𝑛) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
9190, 89eqeltrd 2910 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐷𝑛) ∈ ℂ)
92 addcl 10607 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
9392adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
9469, 91, 93seqcl 13378 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐷)‘𝑘) ∈ ℂ)
9562, 74, 77, 88fvmptd3 6783 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐸𝑛) = ((𝑇𝑛) / 𝑛))
9695, 88eqeltrd 2910 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐸𝑛) ∈ ℂ)
9769, 96, 93seqcl 13378 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐸)‘𝑘) ∈ ℂ)
98 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
99 stirlinglem5.3 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
10075, 74oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
101 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
10281adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
10314adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
104101nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
105103, 104expcld 13498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
106101nncnd 11642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
107101nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
108105, 106, 107divcld 11404 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
109102, 108mulcld 10649 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
110109, 108addcld 10648 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
11199, 100, 101, 110fvmptd3 6783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
1123, 75, 101, 109fvmptd3 6783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
113112eqcomd 2824 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (𝐷𝑛))
11462, 74, 101, 108fvmptd3 6783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = ((𝑇𝑛) / 𝑛))
115114eqcomd 2824 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) = (𝐸𝑛))
116113, 115oveq12d 7163 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = ((𝐷𝑛) + (𝐸𝑛)))
117111, 116eqtrd 2853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ((𝐷𝑛) + (𝐸𝑛)))
11898, 77, 117syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐹𝑛) = ((𝐷𝑛) + (𝐸𝑛)))
11969, 91, 96, 118seradd 13400 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = ((seq1( + , 𝐷)‘𝑘) + (seq1( + , 𝐸)‘𝑘)))
1201, 2, 59, 61, 67, 94, 97, 119climadd 14976 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) + -(log‘(1 − 𝑇))))
121 1rp 12381 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
122121a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
123122, 12rpaddcld 12434 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ ℝ+)
124123rpne0d 12424 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + 𝑇) ≠ 0)
12531, 124logcld 25081 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(1 + 𝑇)) ∈ ℂ)
12630, 14subcld 10985 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
12713, 51absltd 14777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝑇) < 1 ↔ (-1 < 𝑇𝑇 < 1)))
12845, 127mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 < 𝑇𝑇 < 1))
129128simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 < 1)
13013, 129gtned 10763 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≠ 𝑇)
13130, 14, 130subne0d 10994 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
132126, 131logcld 25081 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(1 − 𝑇)) ∈ ℂ)
133125, 132negsubd 10991 . . . 4 (𝜑 → ((log‘(1 + 𝑇)) + -(log‘(1 − 𝑇))) = ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
134120, 133breqtrd 5083 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
135 nn0uz 12268 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
136 0zd 11981 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
137 stirlinglem5.5 . . . . . 6 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
138 2nn0 11902 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
139138a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
140 id 22 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0)
141139, 140nn0mulcld 11948 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
142 nn0p1nn 11924 . . . . . . 7 ((2 · 𝑗) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
143141, 142syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
144137, 143fmpti 6868 . . . . 5 𝐺:ℕ0⟶ℕ
145144a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺:ℕ0⟶ℕ)
146 2re 11699 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
147146a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
148 nn0re 11894 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
149147, 148remulcld 10659 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
150 1red 10630 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
151148, 150readdcld 10658 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
152147, 151remulcld 10659 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
153 2rp 12382 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
154153a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
155148ltp1d 11558 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < (𝑘 + 1))
156148, 151, 154, 155ltmul2dd 12475 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) < (2 · (𝑘 + 1)))
157149, 152, 150, 156ltadd1dd 11239 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) < ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
158137a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1)))
159 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
160159oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = 𝑘) → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
161160oveq1d 7160 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = 𝑘) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
162 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
163 2cnd 11703 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
164 nn0cn 11895 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
165163, 164mulcld 10649 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
166 1cnd 10624 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
167165, 166addcld 10648 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
168158, 161, 162, 167fvmptd 6767 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
169 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
170169oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = (𝑘 + 1)) → (2 · 𝑗) = (2 · (𝑘 + 1)))
171170oveq1d 7160 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = (𝑘 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
172 peano2nn0 11925 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
173164, 166addcld 10648 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
174163, 173mulcld 10649 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
175174, 166addcld 10648 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑘 + 1)) + 1) ∈ ℂ)
176158, 171, 172, 175fvmptd 6767 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
177157, 168, 1763brtr4d 5089 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
178177adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
179 eldifi 4100 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℕ)
180179adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℕ)
181 1cnd 10624 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 1 ∈ ℂ)
182181negcld 10972 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → -1 ∈ ℂ)
183179, 80syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
184182, 183expcld 13498 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
185184adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
18614adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑇 ∈ ℂ)
187180nnnn0d 11943 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
188186, 187expcld 13498 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
189180nncnd 11642 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℂ)
190180nnne0d 11675 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ≠ 0)
191188, 189, 190divcld 11404 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
192185, 191mulcld 10649 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
193192, 191addcld 10648 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
19499, 100, 180, 193fvmptd3 6783 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
195 eldifn 4101 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 𝑛 ∈ ran 𝐺)
196 0nn0 11900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
197 1nn0 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℕ0
198138, 197num0h 12098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = ((2 · 0) + 1)
199 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 0 → (2 · 𝑗) = (2 · 0))
200199oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 0 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 0) + 1))
201200eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 0 → (1 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ 1 = ((2 · 0) + 1)))
202201rspcev 3620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 = ((2 · 0) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1))
203196, 198, 202mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1)
204 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
205137elrnmpt 5821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℂ → (1 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1)))
206204, 205ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1))
207203, 206mpbir 232 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ran 𝐺
208207a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → 1 ∈ ran 𝐺)
209 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ran 𝐺 ↔ 1 ∈ ran 𝐺))
210208, 209mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ ran 𝐺)
211195, 210nsyl 142 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 𝑛 = 1)
212 nn1m1nn 11646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 = 1 ∨ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
213179, 212syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 = 1 ∨ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
214213ord 858 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
215211, 214mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
216 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗
217 nfmpt1 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗(𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
218137, 217nfcxfr 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝐺
219218nfrn 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗ran 𝐺
220216, 219nfdif 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗(ℕ ∖ ran 𝐺)
221220nfcri 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)
222137elrnmpt 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1)))
223195, 222mtbid 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
224 ralnex 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑗 ∈ ℕ0 ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
225223, 224sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
226225r19.21bi 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
227226neqned 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑛 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
228227necomd 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
229228adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
230 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
231 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑗 ∈ ℕ0)
232179ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
233146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
234 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
235234zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℝ)
236233, 235remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
237 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
238 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
239 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
240235recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
241239, 240mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) = (𝑗 · 2))
242 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑗 ∈ ℕ0)
243 elnn0z 11982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 ∈ ℕ0 ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
244242, 243sylnib 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
245 nan 825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗)) ↔ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ 0 ≤ 𝑗))
246244, 245mpbi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ 0 ≤ 𝑗)
247246anabss1 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ 𝑗)
248235, 237ltnled 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑗))
249247, 248mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 < 0)
250153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
251250rpregt0d 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
252 mulltgt0 41156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 < 0) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑗 · 2) < 0)
253235, 249, 251, 252syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 · 2) < 0)
254241, 253eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) < 0)
255236, 237, 238, 254ltadd1dd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) < (0 + 1))
256 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
257256addid2d 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
258255, 257breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) < 1)
259236, 238readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
260259, 238ltnled 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑗) + 1) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1)))
261258, 260mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1))
262 nnge1 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1))
263261, 262nsyl 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
264263adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
265 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
266 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
267265, 266eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
268267adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
269264, 268mtand 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
270269neqned 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
271230, 231, 232, 270syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
272229, 271pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
273272neneqd 3018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
274273ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑗 ∈ ℤ → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
275221, 274ralrimi 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ∀𝑗 ∈ ℤ ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
276 ralnex 3233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑗 ∈ ℤ ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛 ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
277275, 276sylib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
278179nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℤ)
279 odd2np1 15678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
280278, 279syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
281277, 280mtbird 326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑛)
282281notnotrd 135 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 2 ∥ 𝑛)
283179nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℂ)
284283, 181npcand 10989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
285282, 284breqtrrd 5085 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1))
286183nn0zd 12073 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
287 oddp1even 15681 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 − 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑛 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1)))
288286, 287syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 2 ∥ (𝑛 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1)))
289285, 288mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 2 ∥ (𝑛 − 1))
290 oexpneg 15682 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝑛 − 1)) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(1↑(𝑛 − 1)))
291181, 215, 289, 290syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(1↑(𝑛 − 1)))
292 1exp 13446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 − 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑛 − 1)) = 1)
293286, 292syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (1↑(𝑛 − 1)) = 1)
294293negeqd 10868 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → -(1↑(𝑛 − 1)) = -1)
295291, 294eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -1)
296295adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -1)
297296oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
298297oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = ((-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
299191mulm1d 11080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = -((𝑇𝑛) / 𝑛))
300299oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (-((𝑇𝑛) / 𝑛) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
301191negcld 10972 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → -((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
302301, 191addcomd 10830 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-((𝑇𝑛) / 𝑛) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (((𝑇𝑛) / 𝑛) + -((𝑇𝑛) / 𝑛)))
303191negidd 10975 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((𝑇𝑛) / 𝑛) + -((𝑇𝑛) / 𝑛)) = 0)
304300, 302, 3033eqtrd 2857 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = 0)
305194, 298, 3043eqtrd 2857 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
306111, 110eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
30799a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
308 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1))
309308oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑗 − 1) = (((2 · 𝑘) + 1) − 1))
310309oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)))
311308oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑇𝑗) = (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))
312311, 308oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((𝑇𝑗) / 𝑗) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
313310, 312oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
314313, 312oveq12d 7163 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
315138a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
316 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
317315, 316nn0mulcld 11948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
318 nn0p1nn 11924 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
319317, 318syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
320166negcld 10972 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
321165, 166pncand 10986 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
322138a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
323322, 162nn0mulcld 11948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
324321, 323eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) ∈ ℕ0)
325320, 324expcld 13498 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) ∈ ℂ)
326325adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) ∈ ℂ)
32714adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
328197a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
329317, 328nn0addcld 11947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
330327, 329expcld 13498 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
331 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
332164adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
333331, 332mulcld 10649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
334 1cnd 10624 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
335333, 334addcld 10648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
336 0red 10632 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
337146a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
338148adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
339337, 338remulcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
340 1red 10630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
341 0le2 11727 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
342341a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 2)
343316nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
344337, 338, 342, 343mulge0d 11205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2 · 𝑘))
345 0lt1 11150 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
346345a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < 1)
347339, 340, 344, 346addgegt0d 11201 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
348336, 347gtned 10763 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
349330, 335, 348divcld 11404 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
350326, 349mulcld 10649 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
351350, 349addcld 10648 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
352307, 314, 319, 351fvmptd 6767 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
353321adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
354353oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) = (-1↑(2 · 𝑘)))
355 nn0z 11993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
356 m1expeven 13464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
357355, 356syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
358357adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
359354, 358eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) = 1)
360359oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (1 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
361349mulid2d 10647 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
362360, 361eqtrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
363362oveq1d 7160 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
3643492timesd 11868 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
365330, 335, 348divrec2d 11408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))))
366365oveq2d 7161 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
367363, 364, 3663eqtr2d 2859 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
368352, 367eqtr2d 2854 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)))
369 stirlinglem5.4 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))))
370369a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1))))))
371 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
372371oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
373372oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
374373oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
375373oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))
376374, 375oveq12d 7163 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))))
377376oveq2d 7161 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
378335, 348reccld 11397 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
379378, 330mulcld 10649 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
380331, 379mulcld 10649 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
381370, 377, 316, 380fvmptd 6767 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
382197a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
383323, 382nn0addcld 11947 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
384158, 161, 162, 383fvmptd 6767 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
385384adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
386385fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) = (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)))
387368, 381, 3863eqtr4d 2863 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
388135, 1, 136, 2, 145, 178, 305, 306, 387isercoll2 15013 . . 3 (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))) ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇)))))
389134, 388mpbird 258 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
39051, 13resubcld 11056 . . . 4 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
39114subidd 10973 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝑇) = 0)
392391eqcomd 2824 . . . . 5 (𝜑 → 0 = (𝑇𝑇))
39313, 51, 13, 129ltsub1dd 11240 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑇) < (1 − 𝑇))
394392, 393eqbrtrd 5079 . . . 4 (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
395390, 394elrpd 12416 . . 3 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ+)
396123, 395relogdivd 25136 . 2 (𝜑 → (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))) = ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
397389, 396breqtrrd 5085 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cdif 3930   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  ...cfz 12880  seqcseq 13357  cexp 13417  abscabs 14581  cli 14829  cdvds 15595  ∞Metcxmet 20458  ballcbl 20460  logclog 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-tan 15413  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-ulm 24892  df-log 25067
This theorem is referenced by:  stirlinglem6  42241
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