Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem6 42241
Description: A series that converges to log (N+1)/N. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem6.1 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem6 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑗,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑗)

Proof of Theorem stirlinglem6
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
2 eqid 2818 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))
3 eqid 2818 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
4 stirlinglem6.1 . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
5 eqid 2818 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
6 2re 11699 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8 nnre 11633 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
97, 8remulcld 10659 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10 0le2 11727 . . . . . . 7 0 ≤ 2
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
12 0red 10632 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
13 nngt0 11656 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
1412, 8, 13ltled 10776 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
157, 8, 11, 14mulge0d 11205 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
169, 15ge0p1rpd 12449 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
1716rpreccld 12429 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ+)
18 1red 10630 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
1918renegcld 11055 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
2017rpred 12419 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
21 neg1lt0 11742 . . . . . 6 -1 < 0
2221a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
2317rpgt0d 12422 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
2419, 12, 20, 22, 23lttrd 10789 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
25 1rp 12381 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
2625a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
27 1cnd 10624 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2827div1d 11396 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
29 2rp 12382 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31 nnrp 12388 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3230, 31rpmulcld 12435 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
3318, 32ltaddrp2d 12453 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
3428, 33eqbrtrd 5079 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < ((2 · 𝑁) + 1))
3526, 16, 34ltrec1d 12439 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)
3620, 18absltd 14777 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1 ↔ (-1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∧ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)))
3724, 35, 36mpbir2and 709 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1)
381, 2, 3, 4, 5, 17, 37stirlinglem5 42240 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))))
39 2cnd 11703 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
40 nncn 11634 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4139, 40mulcld 10649 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
4241, 27addcld 10648 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
439, 18readdcld 10658 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
44 2pos 11728 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
467, 8, 45, 13mulgt0d 10783 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
479ltp1d 11558 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) < ((2 · 𝑁) + 1))
4812, 9, 43, 46, 47lttrd 10789 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
4948gt0ne0d 11192 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
5042, 49dividd 11402 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
5150eqcomd 2824 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
5251oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5351oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5452, 53oveq12d 7163 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
5542, 27, 42, 49divdird 11442 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5655eqcomd 2824 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
5742, 27, 42, 49divsubdird 11443 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5857eqcomd 2824 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
5956, 58oveq12d 7163 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))))
6041, 27, 27addassd 10651 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
61 1p1e2 11750 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
6362oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
6439mulid1d 10646 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
6564eqcomd 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2 · 1))
6665oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
6739, 40, 27adddid 10653 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
6866, 67eqtr4d 2856 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
6960, 63, 683eqtrd 2857 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = (2 · (𝑁 + 1)))
7069oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)))
7141, 27pncand 10986 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) − 1) = (2 · 𝑁))
7271oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1)))
7370, 72oveq12d 7163 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
7459, 73eqtrd 2853 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
7540, 27addcld 10648 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
7639, 75mulcld 10649 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
7746gt0ne0d 11192 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ≠ 0)
7876, 41, 42, 77, 49divcan7d 11432 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
7945gt0ne0d 11192 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
8013gt0ne0d 11192 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
8139, 39, 75, 40, 79, 80divmuldivd 11445 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
8281eqcomd 2824 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)) = ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
8339, 79dividd 11402 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 2) = 1)
8483oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
8575, 40, 80divcld 11404 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
8685mulid2d 10647 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
8784, 86eqtrd 2853 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
8878, 82, 873eqtrd 2857 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
8954, 74, 883eqtrd 2857 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
9089fveq2d 6667 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
9138, 90breqtrd 5083 1 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  +crp 12377  seqcseq 13357  cexp 13417  abscabs 14581  cli 14829  logclog 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-tan 15413  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-ulm 24892  df-log 25067
This theorem is referenced by:  stirlinglem7  42242
  Copyright terms: Public domain W3C validator