Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem8 39602
Description: If 𝐴 converges to 𝐶, then 𝐹 converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 𝑛𝜑
stirlinglem8.2 𝑛𝐴
stirlinglem8.3 𝑛𝐷
stirlinglem8.4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem8.5 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℝ+)
stirlinglem8.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
stirlinglem8.7 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
stirlinglem8.8 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
stirlinglem8.9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
stirlinglem8.10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
stirlinglem8.11 (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 (𝜑𝐹 ⇝ (𝐶↑2))

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 𝑛𝜑
2 stirlinglem8.7 . . . 4 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
3 nfmpt1 4707 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
42, 3nfcxfr 2759 . . 3 𝑛𝐿
5 stirlinglem8.8 . . . 4 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
6 nfmpt1 4707 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
75, 6nfcxfr 2759 . . 3 𝑛𝑀
8 stirlinglem8.6 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
9 nfmpt1 4707 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
108, 9nfcxfr 2759 . . 3 𝑛𝐹
11 nnuz 11667 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 11352 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13 stirlinglem8.2 . . . 4 𝑛𝐴
14 stirlinglem8.5 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℝ+)
15 rrpsscn 39221 . . . . 5 + ⊆ ℂ
16 fss 6013 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → 𝐴:ℕ⟶ℂ)
1714, 15, 16sylancl 693 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℂ)
18 stirlinglem8.11 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
19 4nn0 11255 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
21 nnex 10970 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
2221mptex 6440 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4)) ∈ V
232, 22eqeltri 2694 . . . . 5 𝐿 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ V)
25 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2614ffvelrnda 6315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 11818 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
2819a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℕ0)
2927, 28expcld 12948 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ)
302fvmpt2 6248 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
3125, 29, 30syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 39238 . . 3 (𝜑𝐿 ⇝ (𝐶↑4))
3321mptex 6440 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2))) ∈ V
348, 33eqeltri 2694 . . . 4 𝐹 ∈ V
3534a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
36 stirlinglem8.3 . . . 4 𝑛𝐷
3717adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶ℂ)
38 2nn 11129 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
40 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
4139, 40nnmulcld 11012 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
4241adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
4337, 42ffvelrnd 6316 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
44 stirlinglem8.4 . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
451, 43, 44fmptdf 6342 . . . 4 (𝜑𝐷:ℕ⟶ℂ)
46 nfmpt1 4707 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))
47 fex 6444 . . . . . 6 ((𝐴:ℕ⟶ℂ ∧ ℕ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
4817, 21, 47sylancl 693 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
49 1nn 10975 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
50 2cnd 11037 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51 1cnd 10000 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 10004 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 1) ∈ ℂ)
53 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (2 · 𝑛) = (2 · 1))
54 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))
5553, 54fvmptg 6237 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) = (2 · 1))
5649, 52, 55sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) = (2 · 1))
5738a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5849a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5957, 58nnmulcld 11012 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 1) ∈ ℕ)
6056, 59eqeltrd 2698 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) ∈ ℕ)
61 1red 9999 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
6239nnred 10979 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
6341nnred 10979 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
6439nnge1d 11007 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
6561, 62, 63, 64leadd2dd 10586 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 2))
6654fvmpt2 6248 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
6741, 66mpdan 701 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
6867oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
69 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
7069cbvmptv 4710 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑘))
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑘)))
72 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑛 + 1)) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
7372oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑛 + 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑛 + 1)))
74 peano2nn 10976 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
7539, 74nnmulcld 11012 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
7671, 73, 74, 75fvmptd 6245 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) = (2 · (𝑛 + 1)))
77 2cnd 11037 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
78 nncn 10972 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
79 1cnd 10000 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
8077, 78, 79adddid 10008 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
8177mulid1d 10001 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
8281oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
8376, 80, 823eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
8465, 68, 833brtr4d 4645 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)))
8541nnzd 11425 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
8667, 85eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) ∈ ℤ)
8786peano2zd 11429 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ∈ ℤ)
8875nnzd 11425 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
8976, 88eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
90 eluz 11645 . . . . . . . 8 (((((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1))))
9187, 89, 90syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1))))
9284, 91mpbird 247 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)))
9392adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)))
9421mptex 6440 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛))) ∈ V
9544, 94eqeltri 2694 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
9695a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ V)
9744fvmpt2 6248 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
9825, 43, 97syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
9967adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
10099eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛))
101100fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = (𝐴‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛)))
10298, 101eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛)))
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 39241 . . . 4 (𝜑𝐷𝐶)
104 2nn0 11253 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
105104a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
10621mptex 6440 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ V
1075, 106eqeltri 2694 . . . . 5 𝑀 ∈ V
108107a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ V)
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
110109rpcnd 11818 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℂ)
111110sqcld 12946 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ)
1125fvmpt2 6248 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ) → (𝑀𝑛) = ((𝐷𝑛)↑2))
11325, 111, 112syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) = ((𝐷𝑛)↑2))
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 39238 . . 3 (𝜑𝑀 ⇝ (𝐶↑2))
115 stirlinglem8.10 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
116115rpcnd 11818 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
117115rpne0d 11821 . . . 4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
118 2z 11353 . . . . 5 2 ∈ ℤ
119118a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
120116, 117, 119expne0d 12954 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑2) ≠ 0)
1211, 29, 2fmptdf 6342 . . . 4 (𝜑𝐿:ℕ⟶ℂ)
122121ffvelrnda 6315 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) ∈ ℂ)
123113, 111eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ ℂ)
12498oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
125113, 124eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
12698, 109eqeltrrd 2699 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
127118a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
128126, 127rpexpcld 12972 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℝ+)
129125, 128eqeltrd 2698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ+)
130129rpne0d 11821 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ≠ 0)
131130neneqd 2795 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (𝑀𝑛) = 0)
132 0cn 9976 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
133 elsn2g 4181 . . . . . 6 (0 ∈ ℂ → ((𝑀𝑛) ∈ {0} ↔ (𝑀𝑛) = 0))
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑀𝑛) ∈ {0} ↔ (𝑀𝑛) = 0)
135131, 134sylnibr 319 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (𝑀𝑛) ∈ {0})
136123, 135eldifd 3566 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13728nn0zd 11424 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℤ)
13826, 137rpexpcld 12972 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℝ+)
139109, 127rpexpcld 12972 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℝ+)
140138, 139rpdivcld 11833 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℝ+)
1418fvmpt2 6248 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℝ+) → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
14225, 140, 141syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
1432fvmpt2 6248 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℝ+) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
14425, 138, 143syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
145144, 113oveq12d 6622 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐿𝑛) / (𝑀𝑛)) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
146142, 145eqtr4d 2658 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ((𝐿𝑛) / (𝑀𝑛)))
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 39245 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
148 2cn 11035 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
149 2p2e4 11088 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
150148, 148, 149mvlladdi 10243 . . . . 5 2 = (4 − 2)
151150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 = (4 − 2))
152151oveq2d 6620 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶↑(4 − 2)))
15320nn0zd 11424 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℤ)
154116, 117, 119, 153expsubd 12959 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑(4 − 2)) = ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
155152, 154eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
156147, 155breqtrrd 4641 1 (𝜑𝐹 ⇝ (𝐶↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  Vcvv 3186  wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  4c4 11016  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  cexp 12800  cli 14149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  39609
  Copyright terms: Public domain W3C validator