Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweid 38739
Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweid.1 𝑡𝐹
stoweid.2 𝑡𝜑
stoweid.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweid.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5 𝑇 = 𝐽
stoweid.6 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7 (𝜑𝐴𝐶)
stoweid.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweid.11 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
stoweid.12 (𝜑𝐹𝐶)
stoweid.13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweid (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   ,𝐸,𝑟,𝑥   ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,,𝑟,𝑥   𝜑,,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟)

Proof of Theorem stoweid
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . . 4 ((𝜑𝑇 = ∅) → 𝑇 = ∅)
2 stoweid.10 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
32ralrimiva 2948 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
4 1re 9895 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
65mpteq2dv 4667 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇 ↦ 1))
76eleq1d 2671 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
87rspccv 3278 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 → (1 ∈ ℝ → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
93, 4, 8mpisyl 21 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
109adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑇 = ∅) → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
111, 10stoweidlem9 38685 . . 3 ((𝜑𝑇 = ∅) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12 stoweid.1 . . . 4 𝑡𝐹
13 nfv 1829 . . . . 5 𝑓𝜑
14 nfv 1829 . . . . 5 𝑓 ¬ 𝑇 = ∅
1513, 14nfan 1815 . . . 4 𝑓(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
16 stoweid.2 . . . . 5 𝑡𝜑
17 nfv 1829 . . . . 5 𝑡 ¬ 𝑇 = ∅
1816, 17nfan 1815 . . . 4 𝑡(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
19 eqid 2609 . . . 4 (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20 stoweid.3 . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
21 stoweid.5 . . . 4 𝑇 = 𝐽
22 stoweid.4 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2322adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
24 stoweid.6 . . . 4 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
25 stoweid.7 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
2625adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐴𝐶)
27 stoweid.8 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
28273adant1r 1310 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
29 stoweid.9 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
30293adant1r 1310 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
312adantlr 746 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
32 stoweid.11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
3332adantlr 746 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
34 stoweid.12 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐶)
3534adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐹𝐶)
36 stoweid.13 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
37 4re 10946 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4pos 10965 . . . . . . . . 9 0 < 4
3937, 38elrpii 11669 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
4140rpreccld 11716 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ+)
4236, 41ifcld 4080 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
4342adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44 neqne 2789 . . . . 5 𝑇 = ∅ → 𝑇 ≠ ∅)
4544adantl 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
4636rpred 11706 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
47 4ne0 10966 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
4837, 47rereccli 10641 . . . . . . . 8 (1 / 4) ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
5046, 49ifcld 4080 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51 3re 10943 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
52 3ne0 10964 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
5351, 52rereccli 10641 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
5536rpxrd 11707 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
5641rpxrd 11707 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ*)
57 xrmin2 11844 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
5855, 56, 57syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
59 3lt4 11046 . . . . . . . 8 3 < 4
60 3pos 10963 . . . . . . . . 9 0 < 3
6151, 37, 60, 38ltrecii 10791 . . . . . . . 8 (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
6259, 61mpbi 218 . . . . . . 7 (1 / 4) < (1 / 3)
6362a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) < (1 / 3))
6450, 49, 54, 58, 63lelttrd 10046 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6564adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6612, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65stoweidlem62 38738 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
6711, 66pm2.61dan 827 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68 nfv 1829 . . . . 5 𝑡 𝑓𝐴
6916, 68nfan 1815 . . . 4 𝑡(𝜑𝑓𝐴)
70 xrmin1 11843 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7155, 56, 70syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7271ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7325ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐴𝐶)
74 simplr 787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓𝐴)
7573, 74sseldd 3568 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓𝐶)
7620, 21, 24, 75fcnre 37990 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
77 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
7876, 77jca 552 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇))
79 ffvelrn 6249 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
80 recn 9882 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑡) ∈ ℝ → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
8234ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹𝐶)
8320, 21, 24, 82fcnre 37990 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
8483, 77jca 552 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇))
85 ffvelrn 6249 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
86 recn 9882 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑡) ∈ ℝ → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
8881, 87subcld 10243 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
8988abscld 13971 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
904, 37, 473pm3.2i 1231 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0)
91 redivcl 10595 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
9290, 91mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
9346, 92ifcld 4080 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9493ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9546ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
96 ltletr 9980 . . . . . 6 (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9789, 94, 95, 96syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9872, 97mpan2d 705 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9969, 98ralimdaa 2940 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴) → (∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
10099reximdva 2999 . 2 (𝜑 → (∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
10167, 100mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wnf 1698  wcel 1976  wnfc 2737  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  wss 3539  c0 3873  ifcif 4035   cuni 4366   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5028  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  infcinf 8207  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10535  3c3 10920  4c4 10921  +crp 11666  (,)cioo 12004  abscabs 13770  topGenctg 15869   Cn ccn 20785  Compccmp 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ioc 12009  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-hom 15741  df-cco 15742  df-rest 15854  df-topn 15855  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-topgen 15875  df-pt 15876  df-prds 15879  df-xrs 15933  df-qtop 15938  df-imas 15939  df-xps 15941  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-mulg 17312  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-cnfld 19516  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-topsp 20471  df-cld 20580  df-cn 20788  df-cnp 20789  df-cmp 20947  df-tx 21122  df-hmeo 21315  df-xms 21882  df-ms 21883  df-tms 21884
This theorem is referenced by:  stowei  38740
  Copyright terms: Public domain W3C validator