Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweid 42225
Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweid.1 𝑡𝐹
stoweid.2 𝑡𝜑
stoweid.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweid.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5 𝑇 = 𝐽
stoweid.6 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7 (𝜑𝐴𝐶)
stoweid.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweid.11 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
stoweid.12 (𝜑𝐹𝐶)
stoweid.13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweid (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   ,𝐸,𝑟,𝑥   ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,,𝑟,𝑥   𝜑,,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟)

Proof of Theorem stoweid
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑇 = ∅) → 𝑇 = ∅)
2 stoweid.10 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
32ralrimiva 3179 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
4 1re 10629 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
65mpteq2dv 5153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇 ↦ 1))
76eleq1d 2894 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
87rspccv 3617 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 → (1 ∈ ℝ → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
93, 4, 8mpisyl 21 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑇 = ∅) → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
111, 10stoweidlem9 42171 . . 3 ((𝜑𝑇 = ∅) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12 stoweid.1 . . . 4 𝑡𝐹
13 nfv 1906 . . . . 5 𝑓𝜑
14 nfv 1906 . . . . 5 𝑓 ¬ 𝑇 = ∅
1513, 14nfan 1891 . . . 4 𝑓(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
16 stoweid.2 . . . . 5 𝑡𝜑
17 nfv 1906 . . . . 5 𝑡 ¬ 𝑇 = ∅
1816, 17nfan 1891 . . . 4 𝑡(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
19 eqid 2818 . . . 4 (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20 stoweid.3 . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
21 stoweid.5 . . . 4 𝑇 = 𝐽
22 stoweid.4 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
24 stoweid.6 . . . 4 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
25 stoweid.7 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
2625adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐴𝐶)
27 stoweid.8 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
28273adant1r 1169 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
29 stoweid.9 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
30293adant1r 1169 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
312adantlr 711 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
32 stoweid.11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
3332adantlr 711 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
34 stoweid.12 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐶)
3534adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐹𝐶)
36 stoweid.13 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
37 4re 11709 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4pos 11732 . . . . . . . . 9 0 < 4
3937, 38elrpii 12380 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
4140rpreccld 12429 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ+)
4236, 41ifcld 4508 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
4342adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44 neqne 3021 . . . . 5 𝑇 = ∅ → 𝑇 ≠ ∅)
4544adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
4636rpred 12419 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
47 4ne0 11733 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
4837, 47rereccli 11393 . . . . . . . 8 (1 / 4) ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
5046, 49ifcld 4508 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51 3re 11705 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
52 3ne0 11731 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
5351, 52rereccli 11393 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
5536rpxrd 12420 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
5641rpxrd 12420 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ*)
57 xrmin2 12559 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
5855, 56, 57syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
59 3lt4 11799 . . . . . . . 8 3 < 4
60 3pos 11730 . . . . . . . . 9 0 < 3
6151, 37, 60, 38ltrecii 11544 . . . . . . . 8 (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
6259, 61mpbi 231 . . . . . . 7 (1 / 4) < (1 / 3)
6362a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) < (1 / 3))
6450, 49, 54, 58, 63lelttrd 10786 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6564adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6612, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65stoweidlem62 42224 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
6711, 66pm2.61dan 809 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68 nfv 1906 . . . . 5 𝑡 𝑓𝐴
6916, 68nfan 1891 . . . 4 𝑡(𝜑𝑓𝐴)
70 xrmin1 12558 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7155, 56, 70syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7271ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7325ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐴𝐶)
74 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓𝐴)
7573, 74sseldd 3965 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓𝐶)
7620, 21, 24, 75fcnre 41159 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
77 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
7876, 77jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇))
79 ffvelrn 6841 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
80 recn 10615 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑡) ∈ ℝ → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
8234ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹𝐶)
8320, 21, 24, 82fcnre 41159 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
8483, 77jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇))
85 ffvelrn 6841 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
86 recn 10615 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑡) ∈ ℝ → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
8881, 87subcld 10985 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
8988abscld 14784 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
904, 37, 473pm3.2i 1331 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0)
91 redivcl 11347 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
9290, 91mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
9346, 92ifcld 4508 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9493ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9546ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
96 ltletr 10720 . . . . . 6 (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9789, 94, 95, 96syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9872, 97mpan2d 690 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9969, 98ralimdaa 3214 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴) → (∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
10099reximdva 3271 . 2 (𝜑 → (∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
10167, 100mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wnfc 2958  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463   cuni 4830   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  infcinf 8893  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  3c3 11681  4c4 11682  +crp 12377  (,)cioo 12726  abscabs 14581  topGenctg 16699   Cn ccn 21760  Compccmp 21922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859
This theorem is referenced by:  stowei  42226
  Copyright terms: Public domain W3C validator