Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem12 39566
Description: Lemma for stoweid 39617. This Lemma is used by other three Lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem12.1 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
stoweidlem12.2 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem12.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem12.4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
Distinct variable group:   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem12
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . 2 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
2 1red 10015 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
3 stoweidlem12.2 . . . . . 6 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
43ffvelrnda 6325 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
5 stoweidlem12.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
74, 6reexpcld 12981 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
82, 7resubcld 10418 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
9 stoweidlem12.4 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
109, 5jca 554 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
12 nn0expcl 12830 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
148, 13reexpcld 12981 . 2 ((𝜑𝑡𝑇) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
15 stoweidlem12.1 . . 3 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
1615fvmpt2 6258 . 2 ((𝑡𝑇 ∧ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
171, 14, 16syl2anc 692 1 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cmpt 4683  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  1c1 9897  cmin 10226  0cn0 11252  cexp 12816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-seq 12758  df-exp 12817
This theorem is referenced by:  stoweidlem24  39578  stoweidlem25  39579  stoweidlem45  39599
  Copyright terms: Public domain W3C validator