Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem13 40548
Description: Lemma for stoweid 40598. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem13.1 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem13.2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
stoweidlem13.3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem13.4 (𝜑𝑗 ∈ ℝ)
stoweidlem13.5 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
stoweidlem13.6 (𝜑𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
stoweidlem13.7 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
stoweidlem13.8 (𝜑𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem13 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝑋)) < (2 · 𝐸))

Proof of Theorem stoweidlem13
StepHypRef Expression
1 stoweidlem13.3 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2 stoweidlem13.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 10496 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
4 2re 11128 . . . 4 2 ∈ ℝ
5 stoweidlem13.1 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
65rpred 11910 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7 remulcl 10059 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
84, 6, 7sylancr 696 . . 3 (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
91recnd 10106 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
102recnd 10106 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
119, 10negsubdi2d 10446 . . . 4 (𝜑 → -(𝑌𝑋) = (𝑋𝑌))
122, 1resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ ℝ)
13 1red 10093 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1413, 6remulcld 10108 . . . . 5 (𝜑 → (1 · 𝐸) ∈ ℝ)
15 stoweidlem13.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑗 ∈ ℝ)
16 3re 11132 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
17 3ne0 11153 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
1816, 17rereccli 10828 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
2015, 19resubcld 10496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
2120, 6remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
2221, 1resubcld 10496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) ∈ ℝ)
23 4re 11135 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
2423, 16, 173pm3.2i 1259 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
25 redivcl 10782 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (4 / 3) ∈ ℝ)
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℝ)
2715, 26resubcld 10496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
2827, 6remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
2921, 28resubcld 10496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ∈ ℝ)
30 stoweidlem13.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
312, 21, 1, 30lesub1dd 10681 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑌) ≤ (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌))
32 stoweidlem13.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
3328, 1, 21, 32ltsub2dd 10678 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
3412, 22, 29, 31, 33lelttrd 10233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
3515recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 ∈ ℂ)
3619recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℂ)
3735, 36subcld 10430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℂ)
3826recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℂ)
3935, 38subcld 10430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℂ)
406recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
4137, 39, 40subdird 10525 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
4235, 36, 35, 38sub4d 10479 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))))
4335, 35subcld 10430 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗𝑗) ∈ ℂ)
4443, 36, 38subsub2d 10459 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))) = ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
4542, 44eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
4645oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
4741, 46eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
4834, 47breqtrd 4711 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
4935subidd 10418 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗𝑗) = 0)
5049oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))))
51 4cn 11136 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℂ
52 3cn 11133 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
5351, 52, 17divcli 10805 . . . . . . . . . . 11 (4 / 3) ∈ ℂ
54 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
5554, 52, 17divcli 10805 . . . . . . . . . . 11 (1 / 3) ∈ ℂ
56 1div1e1 10755 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 1) = 1
5756oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 3) + (1 / 1)) = ((1 / 3) + 1)
58 ax-1ne0 10043 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 0
5954, 52, 54, 54, 17, 58divadddivi 10825 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 3) + (1 / 1)) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
6057, 59eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 3) + 1) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
6152, 54addcomi 10265 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 + 1) = (1 + 3)
62 df-4 11119 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
63 1t1e1 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 1) = 1
6452mulid2i 10081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 3) = 3
6563, 64oveq12i 6702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 1) + (1 · 3)) = (1 + 3)
6661, 62, 653eqtr4ri 2684 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 1) + (1 · 3)) = 4
6766oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . 12 (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1)) = (4 / (3 · 1))
68 3t1e3 11216 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
6968oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (4 / (3 · 1)) = (4 / 3)
7060, 67, 693eqtri 2677 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 3) + 1) = (4 / 3)
7153, 55, 54, 70subaddrii 10408 . . . . . . . . . 10 ((4 / 3) − (1 / 3)) = 1
7271oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + 1)
73 1e0p1 11590 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
7472, 73eqtr4i 2676 . . . . . . . 8 (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1
7550, 74syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1)
7675oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸) = (1 · 𝐸))
7748, 76breqtrd 4711 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (1 · 𝐸))
78 1lt2 11232 . . . . . 6 1 < 2
794a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
8013, 79, 5ltmul1d 11951 . . . . . 6 (𝜑 → (1 < 2 ↔ (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸)))
8178, 80mpbii 223 . . . . 5 (𝜑 → (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸))
8212, 14, 8, 77, 81lttrd 10236 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (2 · 𝐸))
8311, 82eqbrtrd 4707 . . 3 (𝜑 → -(𝑌𝑋) < (2 · 𝐸))
843, 8, 83ltnegcon1d 10645 . 2 (𝜑 → -(2 · 𝐸) < (𝑌𝑋))
85 5re 11137 . . . . . 6 5 ∈ ℝ
8685a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
8716a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
8817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ≠ 0)
8986, 87, 88redivcld 10891 . . . 4 (𝜑 → (5 / 3) ∈ ℝ)
9089, 6remulcld 10108 . . 3 (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
912renegcld 10495 . . . . 5 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
9215, 19readdcld 10107 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
9392, 6remulcld 10108 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
9428renegcld 10495 . . . . 5 (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
95 stoweidlem13.8 . . . . 5 (𝜑𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
96 stoweidlem13.5 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
9728, 2ltnegd 10643 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋 ↔ -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
9896, 97mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
991, 91, 93, 94, 95, 98lt2addd 10688 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) < (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
1009, 10negsubd 10436 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) = (𝑌𝑋))
10135, 36, 40adddird 10103 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)))
10235, 38negsubd 10436 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 + -(4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
103102eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 + -(4 / 3)))
104103oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸))
10538negcld 10417 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(4 / 3) ∈ ℂ)
10635, 105, 40adddird 10103 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)))
10738, 40mulneg1d 10521 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(4 / 3) · 𝐸) = -((4 / 3) · 𝐸))
108107oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
109104, 106, 1083eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
110109negeqd 10313 . . . . . . 7 (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
11135, 40mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
11238, 40mulcld 10098 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
113112negcld 10417 . . . . . . . 8 (𝜑 → -((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
114111, 113negdid 10443 . . . . . . 7 (𝜑 → -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)))
115112negnegd 10421 . . . . . . . 8 (𝜑 → --((4 / 3) · 𝐸) = ((4 / 3) · 𝐸))
116115oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
117110, 114, 1163eqtrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
118101, 117oveq12d 6708 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
11936, 40mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
120111negcld 10417 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
121111, 119, 120, 112add4d 10302 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
122111negidd 10420 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) = 0)
123122oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
124119, 112addcld 10097 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)) ∈ ℂ)
125124addid2d 10275 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
126121, 123, 1253eqtrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
12736, 38, 40adddird 10103 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
12887recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
12936, 38addcld 10097 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) ∈ ℂ)
130128, 36, 38adddid 10102 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))))
13154, 51addcomi 10265 . . . . . . . . . 10 (1 + 4) = (4 + 1)
13254, 52, 17divcan2i 10806 . . . . . . . . . . 11 (3 · (1 / 3)) = 1
13351, 52, 17divcan2i 10806 . . . . . . . . . . 11 (3 · (4 / 3)) = 4
134132, 133oveq12i 6702 . . . . . . . . . 10 ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = (1 + 4)
135 df-5 11120 . . . . . . . . . 10 5 = (4 + 1)
136131, 134, 1353eqtr4i 2683 . . . . . . . . 9 ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = 5
137130, 136syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = 5)
138128, 129, 88, 137mvllmuld 10895 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) = (5 / 3))
139138oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = ((5 / 3) · 𝐸))
140126, 127, 1393eqtr2d 2691 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = ((5 / 3) · 𝐸))
141118, 140eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = ((5 / 3) · 𝐸))
14299, 100, 1413brtr3d 4716 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝑋) < ((5 / 3) · 𝐸))
143 5lt6 11242 . . . . . . 7 5 < 6
144 3t2e6 11217 . . . . . . 7 (3 · 2) = 6
145143, 144breqtrri 4712 . . . . . 6 5 < (3 · 2)
146 3pos 11152 . . . . . . . 8 0 < 3
14716, 146pm3.2i 470 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
148 ltdivmul 10936 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2)))
14985, 4, 147, 148mp3an 1464 . . . . . 6 ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2))
150145, 149mpbir 221 . . . . 5 (5 / 3) < 2
151150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (5 / 3) < 2)
15289, 79, 5, 151ltmul1dd 11965 . . 3 (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) < (2 · 𝐸))
1533, 90, 8, 142, 152lttrd 10236 . 2 (𝜑 → (𝑌𝑋) < (2 · 𝐸))
1543, 8absltd 14212 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑌𝑋)) < (2 · 𝐸) ↔ (-(2 · 𝐸) < (𝑌𝑋) ∧ (𝑌𝑋) < (2 · 𝐸))))
15584, 153, 154mpbir2and 977 1 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝑋)) < (2 · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  +crp 11870  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  stoweidlem61  40596
  Copyright terms: Public domain W3C validator