Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem23 39577
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in the beginning of Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem23.1 𝑡𝜑
stoweidlem23.2 𝑡𝐺
stoweidlem23.3 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
stoweidlem23.4 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem23.5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem23.6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem23.7 (𝜑𝑆𝑇)
stoweidlem23.8 (𝜑𝑍𝑇)
stoweidlem23.9 (𝜑𝐺𝐴)
stoweidlem23.10 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≠ (𝐺𝑍))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem23 (𝜑 → (𝐻𝐴 ∧ (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍) ∧ (𝐻𝑍) = 0))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑔,𝑍,𝑡   𝑥,𝑡,𝑇   𝑡,𝑆   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑔)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem23
StepHypRef Expression
1 stoweidlem23.3 . . 3 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
2 stoweidlem23.1 . . . . 5 𝑡𝜑
3 stoweidlem23.9 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐴)
43ancli 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝜑𝐺𝐴))
5 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝐴𝐺𝐴))
65anbi2d 739 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐺 → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑𝐺𝐴)))
7 feq1 5993 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐺:𝑇⟶ℝ))
86, 7imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐺 → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ)))
9 stoweidlem23.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
108, 9vtoclg 3256 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐴 → ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ))
113, 4, 10sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑇⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6325 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
1312recnd 10028 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
14 stoweidlem23.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑇)
1511, 14ffvelrnd 6326 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
1716recnd 10028 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑍) ∈ ℂ)
1813, 17negsubd 10358 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
192, 18mpteq2da 4713 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍))))
20 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
2115renegcld 10417 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)
23 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) = (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))
2423fvmpt2 6258 . . . . . . . 8 ((𝑡𝑇 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡) = -(𝐺𝑍))
2520, 22, 24syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡) = -(𝐺𝑍))
2625oveq2d 6631 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡)) = ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍)))
272, 26mpteq2da 4713 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))))
2821ancli 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ))
29 eleq1 2686 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ))
3029anbi2d 739 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)))
31 stoweidlem23.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝐺
32 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑍
3331, 32nffv 6165 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(𝐺𝑍)
3433nfneg 10237 . . . . . . . . . . . 12 𝑡-(𝐺𝑍)
3534nfeq2 2776 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑥 = -(𝐺𝑍)
36 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = -(𝐺𝑍) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑥 = -(𝐺𝑍))
3735, 36mpteq2da 4713 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)))
3837eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴))
3930, 38imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴)))
40 stoweidlem23.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
4139, 40vtoclg 3256 . . . . . . 7 (-(𝐺𝑍) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴))
4221, 28, 41sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴)
43 stoweidlem23.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
44 nfmpt1 4717 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))
4543, 31, 44stoweidlem8 39562 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝐴 ∧ (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
463, 42, 45mpd3an23 1423 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
4727, 46eqeltrrd 2699 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))) ∈ 𝐴)
4819, 47eqeltrrd 2699 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍))) ∈ 𝐴)
491, 48syl5eqel 2702 . 2 (𝜑𝐻𝐴)
50 stoweidlem23.7 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑇)
5111, 50ffvelrnd 6326 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℝ)
5251recnd 10028 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℂ)
5315recnd 10028 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℂ)
54 stoweidlem23.10 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≠ (𝐺𝑍))
5552, 53, 54subne0d 10361 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ≠ 0)
5651, 15resubcld 10418 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ)
57 nfcv 2761 . . . . 5 𝑡𝑆
5831, 57nffv 6165 . . . . . 6 𝑡(𝐺𝑆)
59 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑡
6058, 59, 33nfov 6641 . . . . 5 𝑡((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍))
61 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑆 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑆))
6261oveq1d 6630 . . . . 5 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6357, 60, 62, 1fvmptf 6267 . . . 4 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6450, 56, 63syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6515, 15resubcld 10418 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ)
6633, 59, 33nfov 6641 . . . . . 6 𝑡((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍))
67 fveq2 6158 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑍 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑍))
6867oveq1d 6630 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
6932, 66, 68, 1fvmptf 6267 . . . . 5 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
7014, 65, 69syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
7153subidd 10340 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) = 0)
7270, 71eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑍) = 0)
7355, 64, 723netr4d 2867 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍))
7449, 73, 723jca 1240 1 (𝜑 → (𝐻𝐴 ∧ (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍) ∧ (𝐻𝑍) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  wne 2790  cmpt 4683  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896   + caddc 9899  cmin 10226  -cneg 10227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228  df-neg 10229
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  39597
  Copyright terms: Public domain W3C validator