Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem32 40567
 Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem32.1 𝑡𝜑
stoweidlem32.2 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem32.3 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))
stoweidlem32.4 𝐻 = (𝑡𝑇𝑌)
stoweidlem32.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem32.6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem32.7 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
stoweidlem32.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.11 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem32 (𝜑𝑃𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑖,𝑡,𝐺   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑖,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑖   𝑔,𝐻   𝑖,𝑀,𝑡   𝑡,𝑌,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem32
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem32.2 . . 3 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
2 stoweidlem32.1 . . . 4 𝑡𝜑
3 stoweidlem32.3 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))
4 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺𝑖)‘𝑡) = ((𝐺𝑖)‘𝑠))
54sumeq2sdv 14479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))
65cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)) = (𝑠𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))
73, 6eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑠𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))
87a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝐹 = (𝑠𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)))
9 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐺𝑖)‘𝑠) = ((𝐺𝑖)‘𝑡))
109sumeq2sdv 14479 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑡 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))
1110adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑠 = 𝑡) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))
12 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
13 fzfid 12812 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
14 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝜑)
15 stoweidlem32.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
1615ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑖) ∈ 𝐴)
17 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝐺𝑖) → (𝑓𝐴 ↔ (𝐺𝑖) ∈ 𝐴))
1817anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝐺𝑖) → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝐺𝑖) ∈ 𝐴)))
19 feq1 6064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝐺𝑖) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ))
2018, 19imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝐺𝑖) → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐺𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ)))
21 stoweidlem32.11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
2220, 21vtoclg 3297 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑖) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐺𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ))
2316, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝜑 ∧ (𝐺𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ))
2414, 16, 23mp2and 715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ)
2524adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ)
26 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑡𝑇)
2725, 26ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
2813, 27fsumrecl 14509 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
298, 11, 12, 28fvmptd 6327 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))
3029, 28eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
3130recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
32 stoweidlem32.4 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑡𝑇𝑌)
33 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑡𝑌 = 𝑌)
3433cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝑇𝑌) = (𝑡𝑇𝑌)
3532, 34eqtr4i 2676 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑠𝑇𝑌)
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝐻 = (𝑠𝑇𝑌))
37 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑠 = 𝑡) → 𝑌 = 𝑌)
38 stoweidlem32.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3938adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑌 ∈ ℝ)
4036, 37, 12, 39fvmptd 6327 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) = 𝑌)
4140, 39eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℝ)
4241recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℂ)
4331, 42mulcomd 10099 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡)) = ((𝐻𝑡) · (𝐹𝑡)))
4440, 29oveq12d 6708 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) · (𝐹𝑡)) = (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
4543, 44eqtr2d 2686 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)) = ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡)))
462, 45mpteq2da 4776 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡))))
471, 46syl5eq 2697 . 2 (𝜑𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡))))
48 stoweidlem32.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
49 stoweidlem32.8 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
502, 3, 48, 15, 49, 21stoweidlem20 40555 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
51 stoweidlem32.10 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
5251stoweidlem4 40539 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑌) ∈ 𝐴)
5338, 52mpdan 703 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇𝑌) ∈ 𝐴)
5432, 53syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝐻𝐴)
55 nfmpt1 4780 . . . . . 6 𝑡(𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))
563, 55nfcxfr 2791 . . . . 5 𝑡𝐹
5756nfeq2 2809 . . . 4 𝑡 𝑓 = 𝐹
58 nfmpt1 4780 . . . . . 6 𝑡(𝑡𝑇𝑌)
5932, 58nfcxfr 2791 . . . . 5 𝑡𝐻
6059nfeq2 2809 . . . 4 𝑡 𝑔 = 𝐻
61 stoweidlem32.9 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
6257, 60, 61stoweidlem6 40541 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴𝐻𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡))) ∈ 𝐴)
6350, 54, 62mpd3an23 1466 . 2 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡))) ∈ 𝐴)
6447, 63eqeltrd 2730 1 (𝜑𝑃𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030   ↦ cmpt 4762  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℕcn 11058  ...cfz 12364  Σcsu 14460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461 This theorem is referenced by:  stoweidlem44  40579
 Copyright terms: Public domain W3C validator