Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem36 38726
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1 𝑄
stoweidlem36.2 𝑡𝐻
stoweidlem36.3 𝑡𝐹
stoweidlem36.4 𝑡𝐺
stoweidlem36.5 𝑡𝜑
stoweidlem36.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem36.7 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem36.8 𝑇 = 𝐽
stoweidlem36.9 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
stoweidlem36.10 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
stoweidlem36.11 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
stoweidlem36.12 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem36.13 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem36.14 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.16 (𝜑𝑆𝑇)
stoweidlem36.17 (𝜑𝑍𝑇)
stoweidlem36.18 (𝜑𝐹𝐴)
stoweidlem36.19 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ (𝐹𝑍))
stoweidlem36.20 (𝜑 → (𝐹𝑍) = 0)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑔,𝑁,𝑡   𝑡,,𝑆   𝐴,   ,𝐻   𝑇,   ,𝑍,𝑡   𝑥,𝑡,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑡,)   𝐺(𝑥,𝑡,)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝑁(𝑓,)   𝑍(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7 𝑡𝜑
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = 𝐽
5 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹𝐴)
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐹
109nfeq2 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 𝑓 = 𝐹
119nfeq2 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 𝑔 = 𝐹
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
1310, 11, 12stoweidlem6 38696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐹𝐴𝐹𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡))) ∈ 𝐴)
148, 8, 13mpd3an23 1417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡))) ∈ 𝐴)
157, 14syl5eqel 2691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺𝐴)
166, 15sseldd 3568 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
173, 4, 5, 16fcnre 38003 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝑇⟶ℝ)
1817fnvinran 37992 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
1918recnd 9924 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆𝑇)
23 ne0i 3879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆𝑇𝑇 ≠ ∅)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
254, 3, 21, 16, 24cncmpmax 38010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ran 𝐺 ∧ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
2625simp2d 1066 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2720, 26syl5eqel 2691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2827recnd 9924 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2928adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℂ)
30 0red 9897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3117, 22ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℝ)
326, 8sseldd 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
333, 4, 5, 32fcnre 38003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
3433, 22ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
35 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ (𝐹𝑍))
36 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹𝑍) = 0)
3735, 36neeqtrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ 0)
3834, 37msqgt0d 10444 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
3934, 34remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)) ∈ ℝ)
40 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝑆
419, 40nffv 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡(𝐹𝑆)
42 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡 ·
4341, 42, 41nfov 6553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆))
44 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑆 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑆))
4544, 44oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4640, 43, 45, 7fvmptf 6194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑆) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4722, 39, 46syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺𝑆) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4838, 47breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐺𝑆))
4925simp3d 1067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
50 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑆 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑆))
5150breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
5251rspccva 3280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑆𝑇) → (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5349, 22, 52syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5430, 31, 26, 48, 53ltletrd 10048 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5554gt0ne0d 10441 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≠ 0)
5620neeq1i 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ≠ 0 ↔ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≠ 0)
5755, 56sylibr 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
5857adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ≠ 0)
5919, 29, 58divrecd 10653 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑡) · (1 / 𝑁)))
60 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
6127, 57rereccld 10701 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6261adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
63 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) = (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
6463fvmpt2 6185 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝑇 ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡) = (1 / 𝑁))
6560, 62, 64syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡) = (1 / 𝑁))
6665oveq2d 6543 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡)) = ((𝐺𝑡) · (1 / 𝑁)))
6759, 66eqtr4d 2646 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡)))
682, 67mpteq2da 4665 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁)) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))))
691, 68syl5eq 2655 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))))
70 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
7170stoweidlem4 38694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
7261, 71mpdan 698 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
73 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8 𝑡𝐺
7473nfeq2 2765 . . . . . . 7 𝑡 𝑓 = 𝐺
75 nfmpt1 4669 . . . . . . . 8 𝑡(𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7675nfeq2 2765 . . . . . . 7 𝑡 𝑔 = (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7774, 76, 12stoweidlem6 38696 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝐴 ∧ (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
7815, 72, 77mpd3an23 1417 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
7969, 78eqeltrd 2687 . . . 4 (𝜑𝐻𝐴)
80 stoweidlem36.17 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑇)
8117, 80ffvelrnd 6253 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
8281, 27, 57redivcld 10702 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑍) / 𝑁) ∈ ℝ)
83 nfcv 2750 . . . . . . . 8 𝑡𝑍
8473, 83nffv 6095 . . . . . . . . 9 𝑡(𝐺𝑍)
85 nfcv 2750 . . . . . . . . 9 𝑡 /
86 nfcv 2750 . . . . . . . . 9 𝑡𝑁
8784, 85, 86nfov 6553 . . . . . . . 8 𝑡((𝐺𝑍) / 𝑁)
88 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑍))
8988oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
9083, 87, 89, 1fvmptf 6194 . . . . . . 7 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐺𝑍) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
9180, 82, 90syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
92 0re 9896 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
9336, 92syl6eqel 2695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ ℝ)
9493, 93remulcld 9926 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) ∈ ℝ)
959, 83nffv 6095 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝐹𝑍)
9695, 42, 95nfov 6553 . . . . . . . . . 10 𝑡((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍))
97 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑍 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑍))
9897, 97oveq12d 6545 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
9983, 96, 98, 7fvmptf 6194 . . . . . . . . 9 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑍) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
10080, 94, 99syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
10136, 36oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) = (0 · 0))
102 0cn 9888 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
103102mul02i 10076 . . . . . . . . 9 (0 · 0) = 0
104101, 103syl6eq 2659 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) = 0)
105100, 104eqtrd 2643 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑍) = 0)
106105oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑍) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
10728, 57div0d 10649 . . . . . 6 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
10891, 106, 1073eqtrd 2647 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝑍) = 0)
10933fnvinran 37992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
110109msqge0d 10445 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
111109, 109remulcld 9926 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
1127fvmpt2 6185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
11360, 111, 112syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
114110, 113breqtrrd 4605 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐺𝑡))
11527adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℝ)
11654, 20syl6breqr 4619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
117116adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 < 𝑁)
118 divge0 10741 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑡)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
11918, 114, 115, 117, 118syl22anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
12018, 115, 58redivcld 10702 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) ∈ ℝ)
1211fvmpt2 6185 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐺𝑡) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑡) = ((𝐺𝑡) / 𝑁))
12260, 120, 121syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) = ((𝐺𝑡) / 𝑁))
123119, 122breqtrrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐻𝑡))
12419div1d 10642 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 1) = (𝐺𝑡))
125 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑡 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑡))
126125breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
127126rspccva 3280 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
12849, 127sylan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
129128, 20syl6breqr 4619 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ 𝑁)
130124, 129eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁)
131 1red 9911 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
132 0lt1 10399 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 < 1)
134 lediv23 10764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1 ↔ ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁))
13518, 115, 117, 131, 133, 134syl122anc 1326 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1 ↔ ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁))
136130, 135mpbird 245 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1)
137122, 136eqbrtrd 4599 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ≤ 1)
138123, 137jca 552 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))
139138ex 448 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 → (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
1402, 139ralrimi 2939 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))
141108, 140jca 552 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
142 fveq1 6087 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → (𝑍) = (𝐻𝑍))
143142eqeq1d 2611 . . . . . 6 ( = 𝐻 → ((𝑍) = 0 ↔ (𝐻𝑍) = 0))
144 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8 𝑡𝐻
145144nfeq2 2765 . . . . . . 7 𝑡 = 𝐻
146 fveq1 6087 . . . . . . . . 9 ( = 𝐻 → (𝑡) = (𝐻𝑡))
147146breq2d 4589 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → (0 ≤ (𝑡) ↔ 0 ≤ (𝐻𝑡)))
148146breq1d 4587 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → ((𝑡) ≤ 1 ↔ (𝐻𝑡) ≤ 1))
149147, 148anbi12d 742 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → ((0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
150145, 149ralbid 2965 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
151143, 150anbi12d 742 . . . . 5 ( = 𝐻 → (((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)) ↔ ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))))
152151elrab 3330 . . . 4 (𝐻 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))} ↔ (𝐻𝐴 ∧ ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))))
15379, 141, 152sylanbrc 694 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))})
154 stoweidlem36.7 . . 3 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
155153, 154syl6eleqr 2698 . 2 (𝜑𝐻𝑄)
15631, 27, 48, 116divgt0d 10808 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐺𝑆) / 𝑁))
15731, 27, 57redivcld 10702 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑆) / 𝑁) ∈ ℝ)
15873, 40nffv 6095 . . . . . 6 𝑡(𝐺𝑆)
159158, 85, 86nfov 6553 . . . . 5 𝑡((𝐺𝑆) / 𝑁)
160 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑆 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑆))
161160oveq1d 6542 . . . . 5 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
16240, 159, 161, 1fvmptf 6194 . . . 4 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐺𝑆) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
16322, 157, 162syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
164156, 163breqtrrd 4605 . 2 (𝜑 → 0 < (𝐻𝑆))
165 nfcv 2750 . . . 4 𝐻
166 stoweidlem36.1 . . . . . 6 𝑄
167166nfel2 2766 . . . . 5 𝐻𝑄
168 nfv 1829 . . . . 5 0 < (𝐻𝑆)
169167, 168nfan 1815 . . . 4 (𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆))
170 eleq1 2675 . . . . 5 ( = 𝐻 → (𝑄𝐻𝑄))
171 fveq1 6087 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (𝑆) = (𝐻𝑆))
172171breq2d 4589 . . . . 5 ( = 𝐻 → (0 < (𝑆) ↔ 0 < (𝐻𝑆)))
173170, 172anbi12d 742 . . . 4 ( = 𝐻 → ((𝑄 ∧ 0 < (𝑆)) ↔ (𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆))))
174165, 169, 173spcegf 3261 . . 3 (𝐻𝑄 → ((𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
175174anabsi5 853 . 2 ((𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
176155, 164, 175syl2anc 690 1 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wnf 1698  wcel 1976  wnfc 2737  wne 2779  wral 2895  {crab 2899  wss 3539  c0 3873   cuni 4366   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5029  cfv 5790  (class class class)co 6527  supcsup 8206  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10533  (,)cioo 12002  topGenctg 15867   Cn ccn 20780  Compccmp 20941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  38733
  Copyright terms: Public domain W3C validator