Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem36 40571
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1 𝑄
stoweidlem36.2 𝑡𝐻
stoweidlem36.3 𝑡𝐹
stoweidlem36.4 𝑡𝐺
stoweidlem36.5 𝑡𝜑
stoweidlem36.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem36.7 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem36.8 𝑇 = 𝐽
stoweidlem36.9 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
stoweidlem36.10 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
stoweidlem36.11 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
stoweidlem36.12 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem36.13 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem36.14 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.16 (𝜑𝑆𝑇)
stoweidlem36.17 (𝜑𝑍𝑇)
stoweidlem36.18 (𝜑𝐹𝐴)
stoweidlem36.19 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ (𝐹𝑍))
stoweidlem36.20 (𝜑 → (𝐹𝑍) = 0)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑔,𝑁,𝑡   𝑡,,𝑆   𝐴,   ,𝐻   𝑇,   ,𝑍,𝑡   𝑥,𝑡,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑡,)   𝐺(𝑥,𝑡,)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝑁(𝑓,)   𝑍(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7 𝑡𝜑
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = 𝐽
5 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹𝐴)
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐹
109nfeq2 2809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 𝑓 = 𝐹
119nfeq2 2809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 𝑔 = 𝐹
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
1310, 11, 12stoweidlem6 40541 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐹𝐴𝐹𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡))) ∈ 𝐴)
148, 8, 13mpd3an23 1466 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡))) ∈ 𝐴)
157, 14syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺𝐴)
166, 15sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
173, 4, 5, 16fcnre 39498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝑇⟶ℝ)
1817ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
1918recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆𝑇)
23 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆𝑇𝑇 ≠ ∅)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
254, 3, 21, 16, 24cncmpmax 39505 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ran 𝐺 ∧ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
2625simp2d 1094 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2720, 26syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2827recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2928adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℂ)
30 0red 10079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3117, 22ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℝ)
326, 8sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
333, 4, 5, 32fcnre 39498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
3433, 22ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
35 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ (𝐹𝑍))
36 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹𝑍) = 0)
3735, 36neeqtrd 2892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ 0)
3834, 37msqgt0d 10633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
3934, 34remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)) ∈ ℝ)
40 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝑆
419, 40nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡(𝐹𝑆)
42 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡 ·
4341, 42, 41nfov 6716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆))
44 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑆 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑆))
4544, 44oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4640, 43, 45, 7fvmptf 6340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑆) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4722, 39, 46syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺𝑆) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4838, 47breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐺𝑆))
4925simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
50 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑆 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑆))
5150breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
5251rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑆𝑇) → (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5349, 22, 52syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5430, 31, 26, 48, 53ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5554gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≠ 0)
5620neeq1i 2887 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ≠ 0 ↔ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≠ 0)
5755, 56sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
5857adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ≠ 0)
5919, 29, 58divrecd 10842 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑡) · (1 / 𝑁)))
60 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
6127, 57rereccld 10890 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6261adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
63 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) = (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
6463fvmpt2 6330 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝑇 ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡) = (1 / 𝑁))
6560, 62, 64syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡) = (1 / 𝑁))
6665oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡)) = ((𝐺𝑡) · (1 / 𝑁)))
6759, 66eqtr4d 2688 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡)))
682, 67mpteq2da 4776 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁)) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))))
691, 68syl5eq 2697 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))))
70 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
7170stoweidlem4 40539 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
7261, 71mpdan 703 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
73 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8 𝑡𝐺
7473nfeq2 2809 . . . . . . 7 𝑡 𝑓 = 𝐺
75 nfmpt1 4780 . . . . . . . 8 𝑡(𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7675nfeq2 2809 . . . . . . 7 𝑡 𝑔 = (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7774, 76, 12stoweidlem6 40541 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝐴 ∧ (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
7815, 72, 77mpd3an23 1466 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
7969, 78eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑𝐻𝐴)
80 stoweidlem36.17 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑇)
8117, 80ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
8281, 27, 57redivcld 10891 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑍) / 𝑁) ∈ ℝ)
83 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑡𝑍
8473, 83nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑡(𝐺𝑍)
85 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑡 /
86 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑡𝑁
8784, 85, 86nfov 6716 . . . . . . . 8 𝑡((𝐺𝑍) / 𝑁)
88 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑍))
8988oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
9083, 87, 89, 1fvmptf 6340 . . . . . . 7 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐺𝑍) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
9180, 82, 90syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
92 0re 10078 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
9336, 92syl6eqel 2738 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ ℝ)
9493, 93remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) ∈ ℝ)
959, 83nffv 6236 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝐹𝑍)
9695, 42, 95nfov 6716 . . . . . . . . . 10 𝑡((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍))
97 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑍 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑍))
9897, 97oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
9983, 96, 98, 7fvmptf 6340 . . . . . . . . 9 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑍) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
10080, 94, 99syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
10136, 36oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) = (0 · 0))
102 0cn 10070 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
103102mul02i 10263 . . . . . . . . 9 (0 · 0) = 0
104101, 103syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) = 0)
105100, 104eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑍) = 0)
106105oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑍) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
10728, 57div0d 10838 . . . . . 6 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
10891, 106, 1073eqtrd 2689 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝑍) = 0)
10933ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
110109msqge0d 10634 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
111109, 109remulcld 10108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
1127fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
11360, 111, 112syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
114110, 113breqtrrd 4713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐺𝑡))
11527adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℝ)
11654, 20syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
117116adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 < 𝑁)
118 divge0 10930 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑡)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
11918, 114, 115, 117, 118syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
12018, 115, 58redivcld 10891 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) ∈ ℝ)
1211fvmpt2 6330 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐺𝑡) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑡) = ((𝐺𝑡) / 𝑁))
12260, 120, 121syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) = ((𝐺𝑡) / 𝑁))
123119, 122breqtrrd 4713 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐻𝑡))
12419div1d 10831 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 1) = (𝐺𝑡))
125 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑡 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑡))
126125breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
127126rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
12849, 127sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
129128, 20syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ 𝑁)
130124, 129eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁)
131 1red 10093 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
132 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 < 1)
134 lediv23 10953 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1 ↔ ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁))
13518, 115, 117, 131, 133, 134syl122anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1 ↔ ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁))
136130, 135mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1)
137122, 136eqbrtrd 4707 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ≤ 1)
138123, 137jca 553 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))
139138ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 → (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
1402, 139ralrimi 2986 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))
141108, 140jca 553 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
142 fveq1 6228 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → (𝑍) = (𝐻𝑍))
143142eqeq1d 2653 . . . . . 6 ( = 𝐻 → ((𝑍) = 0 ↔ (𝐻𝑍) = 0))
144 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8 𝑡𝐻
145144nfeq2 2809 . . . . . . 7 𝑡 = 𝐻
146 fveq1 6228 . . . . . . . . 9 ( = 𝐻 → (𝑡) = (𝐻𝑡))
147146breq2d 4697 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → (0 ≤ (𝑡) ↔ 0 ≤ (𝐻𝑡)))
148146breq1d 4695 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → ((𝑡) ≤ 1 ↔ (𝐻𝑡) ≤ 1))
149147, 148anbi12d 747 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → ((0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
150145, 149ralbid 3012 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
151143, 150anbi12d 747 . . . . 5 ( = 𝐻 → (((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)) ↔ ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))))
152151elrab 3396 . . . 4 (𝐻 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))} ↔ (𝐻𝐴 ∧ ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))))
15379, 141, 152sylanbrc 699 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))})
154 stoweidlem36.7 . . 3 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
155153, 154syl6eleqr 2741 . 2 (𝜑𝐻𝑄)
15631, 27, 48, 116divgt0d 10997 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐺𝑆) / 𝑁))
15731, 27, 57redivcld 10891 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑆) / 𝑁) ∈ ℝ)
15873, 40nffv 6236 . . . . . 6 𝑡(𝐺𝑆)
159158, 85, 86nfov 6716 . . . . 5 𝑡((𝐺𝑆) / 𝑁)
160 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑆 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑆))
161160oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
16240, 159, 161, 1fvmptf 6340 . . . 4 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐺𝑆) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
16322, 157, 162syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
164156, 163breqtrrd 4713 . 2 (𝜑 → 0 < (𝐻𝑆))
165 nfcv 2793 . . . 4 𝐻
166 stoweidlem36.1 . . . . . 6 𝑄
167166nfel2 2810 . . . . 5 𝐻𝑄
168 nfv 1883 . . . . 5 0 < (𝐻𝑆)
169167, 168nfan 1868 . . . 4 (𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆))
170 eleq1 2718 . . . . 5 ( = 𝐻 → (𝑄𝐻𝑄))
171 fveq1 6228 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (𝑆) = (𝐻𝑆))
172171breq2d 4697 . . . . 5 ( = 𝐻 → (0 < (𝑆) ↔ 0 < (𝐻𝑆)))
173170, 172anbi12d 747 . . . 4 ( = 𝐻 → ((𝑄 ∧ 0 < (𝑆)) ↔ (𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆))))
174165, 169, 173spcegf 3320 . . 3 (𝐻𝑄 → ((𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
175174anabsi5 875 . 2 ((𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
176155, 164, 175syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wnf 1748  wcel 2030  wnfc 2780  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  (,)cioo 12213  topGenctg 16145   Cn ccn 21076  Compccmp 21237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  40578
  Copyright terms: Public domain W3C validator