Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem43 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem43 40781
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1 𝑔𝜑
stoweidlem43.2 𝑡𝜑
stoweidlem43.3 𝑄
stoweidlem43.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem43.5 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem43.6 𝑇 = 𝐽
stoweidlem43.7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem43.8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem43.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.12 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡))
stoweidlem43.13 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem43.14 (𝜑𝑍𝑈)
stoweidlem43.15 (𝜑𝑆 ∈ (𝑇𝑈))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑙,𝑡,𝐴   𝑓,,𝑇,𝑡   𝑇,𝑙   𝑓,𝑟,𝑔,𝑡,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑄,𝑓   𝑆,𝑓,𝑔,𝑙,𝑡   𝑓,𝑍,𝑔,𝑙,𝑡   𝜑,𝑓,𝑙   𝐴,   𝑆,   ,𝑍   𝑇,𝑟   𝑆,𝑟   𝜑,𝑟   𝑥,𝑇   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑔,)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3 𝑔𝜑
2 nfv 1992 . . 3 𝑔𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (𝑇𝑈))
43eldifad 3727 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑇)
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑈)
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐽)
7 elunii 4593 . . . . . . 7 ((𝑍𝑈𝑈𝐽) → 𝑍 𝐽)
85, 6, 7syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑𝑍 𝐽)
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6 𝑇 = 𝐽
108, 9syl6eleqr 2850 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑇)
113eldifbd 3728 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑈)
12 nelne2 3029 . . . . . . 7 ((𝑍𝑈 ∧ ¬ 𝑆𝑈) → 𝑍𝑆)
135, 11, 12syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑆)
1413necomd 2987 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑍)
154, 10, 143jca 1123 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))
16 simpr2 1236 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → 𝑍𝑇)
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9 𝑡𝜑
18 nfv 1992 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)
1917, 18nfan 1977 . . . . . . . 8 𝑡(𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))
20 nfv 1992 . . . . . . . 8 𝑡𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)
2119, 20nfim 1974 . . . . . . 7 𝑡((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
22 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑡𝑇𝑍𝑇))
23 neeq2 2995 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑆𝑡𝑆𝑍))
2422, 233anbi23d 1551 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → ((𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡) ↔ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)))
2524anbi2d 742 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))))
26 fveq2 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑔𝑡) = (𝑔𝑍))
2726neeq2d 2992 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → ((𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡) ↔ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
2827rexbidv 3190 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡) ↔ ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
2925, 28imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑍 → (((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))))
30 simpr1 1234 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → 𝑆𝑇)
31 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑟𝑇𝑆𝑇))
32 neeq1 2994 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑟𝑡𝑆𝑡))
3331, 323anbi13d 1550 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 → ((𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡) ↔ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)))
3433anbi2d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡))))
35 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑔𝑟) = (𝑔𝑆))
3635neeq1d 2991 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 → ((𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡) ↔ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
3736rexbidv 3190 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡) ↔ ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
3834, 37imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡))))
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑟𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡)))
4138, 40vtoclga 3412 . . . . . . . 8 (𝑆𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
4230, 41mpcom 38 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡))
4321, 29, 42vtoclg1f 3405 . . . . . 6 (𝑍𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4416, 43mpcom 38 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
45 df-rex 3056 . . . . 5 (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍) ↔ ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4644, 45sylib 208 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4715, 46mpdan 705 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
48 nfv 1992 . . . . . 6 𝑡(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
4917, 48nfan 1977 . . . . 5 𝑡(𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
50 nfcv 2902 . . . . 5 𝑡𝑔
51 eqid 2760 . . . . 5 (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
53 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
5554sselda 3744 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5652, 9, 53, 55fcnre 39701 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
5756adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
59583adant1r 1188 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
6160adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
624adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑆𝑇)
6310adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑍𝑇)
64 simprl 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑔𝐴)
65 simprr 813 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 40761 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0))
67 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴))
68 fveq1 6352 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝑆) = ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆))
69 fveq1 6352 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝑍) = ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍))
7068, 69neeq12d 2993 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍)))
7169eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝑍) = 0 ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0))
7267, 70, 713anbi123d 1548 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0)))
7372spcegv 3434 . . . . . 6 ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 → (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)))
74733ad2ant1 1128 . . . . 5 (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)))
7574pm2.43i 52 . . . 4 (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
7666, 75syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
771, 2, 47, 76exlimdd 2235 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
78 stoweidlem43.3 . . . . 5 𝑄
79 nfmpt1 4899 . . . . 5 𝑡(𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )))
80 nfcv 2902 . . . . 5 𝑡𝑓
81 nfcv 2902 . . . . 5 𝑡(𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))
82 nfv 1992 . . . . . 6 𝑡(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)
8317, 82nfan 1977 . . . . 5 𝑡(𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
84 stoweidlem43.5 . . . . 5 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
85 fveq2 6353 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (𝑓𝑠) = (𝑓𝑡))
8685, 85oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)) = ((𝑓𝑡) · (𝑓𝑡)))
8786cbvmptv 4902 . . . . 5 (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑓𝑡)))
88 eqid 2760 . . . . 5 sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )
89 eqid 2760 . . . . 5 (𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < ))) = (𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )))
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
9190adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝐽 ∈ Comp)
9254adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
93 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑘 → (𝑓𝐴𝑘𝐴))
94933anbi2d 1553 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑘 → ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) ↔ (𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴)))
95 fveq1 6352 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑘 → (𝑓𝑡) = (𝑘𝑡))
9695oveq1d 6829 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑘 → ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡)) = ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡)))
9796mpteq2dv 4897 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑘 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))))
9897eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑘 → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴))
9994, 98imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑘 → (((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)))
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
10199, 100chvarv 2408 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
1021013adant1r 1188 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) ∧ 𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
10360adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
1044adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑆𝑇)
10510adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑍𝑇)
106 simpr1 1234 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑓𝐴)
107 simpr2 1236 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍))
108 simpr3 1238 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → (𝑓𝑍) = 0)
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 40774 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
110109ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
111110exlimdv 2010 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
11277, 111mpd 15 1 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wnf 1857  wcel 2139  wnfc 2889  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  cdif 3712  wss 3715   cuni 4588   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  supcsup 8513  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  (,)cioo 12388  topGenctg 16320   Cn ccn 21250  Compccmp 21411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  40784
  Copyright terms: Public domain W3C validator