Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem47 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem47 39601
Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem47.1 𝑡𝐹
stoweidlem47.2 𝑡𝑆
stoweidlem47.3 𝑡𝜑
stoweidlem47.4 𝑇 = 𝐽
stoweidlem47.5 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
stoweidlem47.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem47.7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
stoweidlem47.8 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem47.9 (𝜑𝐹𝐶)
stoweidlem47.10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem47 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑡)   𝑆(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem47
StepHypRef Expression
1 stoweidlem47.3 . . 3 𝑡𝜑
2 stoweidlem47.5 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
32fveq1i 6159 . . . . . 6 (𝐺𝑡) = ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡)
4 stoweidlem47.10 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
54renegcld 10417 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑆 ∈ ℝ)
6 fvconst2g 6432 . . . . . . 7 ((-𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
75, 6sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
83, 7syl5eq 2667 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) = -𝑆)
98oveq2d 6631 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) + (𝐺𝑡)) = ((𝐹𝑡) + -𝑆))
10 stoweidlem47.6 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11 stoweidlem47.4 . . . . . . . 8 𝑇 = 𝐽
12 stoweidlem47.8 . . . . . . . 8 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
13 stoweidlem47.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐶)
1410, 11, 12, 13fcnre 38706 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
1514ffvelrnda 6325 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
1615recnd 10028 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
174recnd 10028 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
1817adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
1916, 18negsubd 10358 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) + -𝑆) = ((𝐹𝑡) − 𝑆))
209, 19eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) + (𝐺𝑡)) = ((𝐹𝑡) − 𝑆))
211, 20mpteq2da 4713 . 2 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) + (𝐺𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − 𝑆)))
22 stoweidlem47.1 . . . 4 𝑡𝐹
23 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑡𝑇
24 stoweidlem47.2 . . . . . . . 8 𝑡𝑆
2524nfneg 10237 . . . . . . 7 𝑡-𝑆
2625nfsn 4220 . . . . . 6 𝑡{-𝑆}
2723, 26nfxp 5112 . . . . 5 𝑡(𝑇 × {-𝑆})
282, 27nfcxfr 2759 . . . 4 𝑡𝐺
29 stoweidlem47.7 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
3011a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑇 = 𝐽)
31 istopon 20657 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 = 𝐽))
3229, 30, 31sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
3313, 12syl6eleq 2708 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
34 retopon 22507 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3510, 34eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
37 cnconst2 21027 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ -𝑆 ∈ ℝ) → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3832, 36, 5, 37syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
392, 38syl5eqel 2702 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4022, 28, 1, 10, 32, 33, 39refsum2cn 38719 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) + (𝐺𝑡))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4140, 12syl6eleqr 2709 . 2 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) + (𝐺𝑡))) ∈ 𝐶)
4221, 41eqeltrrd 2699 1 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  {csn 4155   cuni 4409  cmpt 4683   × cxp 5082  ran crn 5085  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895   + caddc 9899  cmin 10226  -cneg 10227  (,)cioo 12133  topGenctg 16038  Topctop 20638  TopOnctopon 20655   Cn ccn 20968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  39616
  Copyright terms: Public domain W3C validator