Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem5 40540
Description: There exists a δ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < δ < 1 , p >= δ on 𝑇𝑈. Here 𝐷 is used to represent δ in the paper and 𝑄 to represent 𝑇𝑈 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem5.1 𝑡𝜑
stoweidlem5.2 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
stoweidlem5.3 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem5.4 (𝜑𝑄𝑇)
stoweidlem5.5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
stoweidlem5.6 (𝜑 → ∀𝑡𝑄 𝐶 ≤ (𝑃𝑡))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem5 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑑,𝐷   𝑃,𝑑   𝑄,𝑑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑑)   𝐶(𝑡,𝑑)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑇(𝑡,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem5
StepHypRef Expression
1 stoweidlem5.2 . . 3 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
2 stoweidlem5.5 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3 halfre 11284 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
4 halfgt0 11286 . . . . 5 0 < (1 / 2)
53, 4elrpii 11873 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ+
6 ifcl 4163 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
72, 5, 6sylancl 695 . . 3 (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
81, 7syl5eqel 2734 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
98rpred 11910 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
103a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
11 1red 10093 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122rpred 11910 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
13 min2 12059 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
1412, 3, 13sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
151, 14syl5eqbr 4720 . . 3 (𝜑𝐷 ≤ (1 / 2))
16 halflt1 11288 . . . 4 (1 / 2) < 1
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
189, 10, 11, 15, 17lelttrd 10233 . 2 (𝜑𝐷 < 1)
19 stoweidlem5.1 . . 3 𝑡𝜑
207rpred 11910 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
2212adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑄) → 𝐶 ∈ ℝ)
23 stoweidlem5.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑄) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
25 stoweidlem5.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑇)
2625sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑄) → 𝑡𝑇)
2724, 26ffvelrnd 6400 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑄) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
28 min1 12058 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
2912, 3, 28sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
31 stoweidlem5.6 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑡𝑄 𝐶 ≤ (𝑃𝑡))
3231r19.21bi 2961 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑄) → 𝐶 ≤ (𝑃𝑡))
3321, 22, 27, 30, 32letrd 10232 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑡))
341, 33syl5eqbr 4720 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑄) → 𝐷 ≤ (𝑃𝑡))
3534ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑄𝐷 ≤ (𝑃𝑡)))
3619, 35ralrimi 2986 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑄 𝐷 ≤ (𝑃𝑡))
37 eleq1 2718 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+))
38 breq1 4688 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 < 1 ↔ 𝐷 < 1))
39 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ≤ (𝑃𝑡) ↔ 𝐷 ≤ (𝑃𝑡)))
4039ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡) ↔ ∀𝑡𝑄 𝐷 ≤ (𝑃𝑡)))
4137, 38, 403anbi123d 1439 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → ((𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡)) ↔ (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝐷 ≤ (𝑃𝑡))))
4241spcegv 3325 . . 3 (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ ℝ+𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝐷 ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡))))
438, 42syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ+𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝐷 ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡))))
448, 18, 36, 43mp3and 1467 1 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wnf 1748  wcel 2030  wral 2941  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-rp 11871
This theorem is referenced by:  stoweidlem28  40563
  Copyright terms: Public domain W3C validator