Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem50 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem50 38747
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1 𝑡𝑈
stoweidlem50.2 𝑡𝜑
stoweidlem50.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem50.4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem50.5 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
stoweidlem50.6 𝑇 = 𝐽
stoweidlem50.7 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem50.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem50.14 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem50.15 (𝜑𝑍𝑈)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50 (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝑇   𝑢,𝑈   𝑢,𝑊   𝑓,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞   𝑤,𝑔,,𝑡,𝑇   𝐴,𝑔,   𝑔,𝑊   𝑍,𝑞,𝑥   𝑇,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝜑,𝑢   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,)   𝐴(𝑤,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝑄(𝑥,𝑢,𝑡,,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑢,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3 𝑡𝑈
2 stoweidlem50.4 . . . 4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
3 nfrab1 3098 . . . 4 {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
42, 3nfcxfr 2748 . . 3 𝑄
5 nfv 1829 . . 3 𝑞𝜑
6 stoweidlem50.2 . . 3 𝑡𝜑
7 stoweidlem50.3 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8 stoweidlem50.5 . . 3 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
9 stoweidlem50.6 . . 3 𝑇 = 𝐽
10 stoweidlem50.8 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
11 stoweidlem50.9 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
12 stoweidlem50.7 . . . 4 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
1311, 12syl6sseq 3613 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
14 stoweidlem50.10 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem50.11 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
16 stoweidlem50.12 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem50.13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
18 stoweidlem50.14 . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
19 stoweidlem50.15 . . 3 (𝜑𝑍𝑈)
20 uniexg 6830 . . . . 5 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ V)
2110, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 𝐽 ∈ V)
229, 21syl5eqel 2691 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
231, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22stoweidlem46 38743 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊)
24 dfin4 3825 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝑈) = (𝑇 ∖ (𝑇𝑈))
25 elssuni 4397 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈𝐽𝑈 𝐽)
2618, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 𝐽)
2726, 9syl6sseqr 3614 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝑇)
28 sseqin2 3778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑇 ↔ (𝑇𝑈) = 𝑈)
2927, 28sylib 206 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇𝑈) = 𝑈)
3024, 29syl5eqr 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) = 𝑈)
3130, 18eqeltrd 2687 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽)
32 cmptop 20950 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3310, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ Top)
34 difssd 3699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
359iscld2 20584 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽))
3633, 34, 35syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽))
3731, 36mpbird 245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽))
38 cmpcld 20957 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
3910, 37, 38syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
409cmpsub 20955 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
4133, 34, 40syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
4239, 41mpbid 220 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
43 ssrab2 3649 . . . . . . . 8 {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}} ⊆ 𝐽
448, 43eqsstri 3597 . . . . . . 7 𝑊𝐽
458, 10rabexd 4736 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ V)
46 elpwg 4115 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽𝑊𝐽))
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽𝑊𝐽))
4844, 47mpbiri 246 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ 𝒫 𝐽)
49 unieq 4374 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑊 𝑐 = 𝑊)
5049sseq2d 3595 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑊 → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 ↔ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊))
51 pweq 4110 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑊 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝑊)
5251ineq1d 3774 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑊 → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 𝑊 ∩ Fin))
5352rexeqdv 3121 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑊 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5450, 53imbi12d 332 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑊 → (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
5554rspccva 3280 . . . . . 6 ((∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5642, 48, 55syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5756imp 443 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
58 df-rex 2901 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5957, 58sylib 206 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
60 elinel2 3761 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
6160ad2antrl 759 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
62 elinel1 3760 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
6362ad2antrl 759 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
6463elpwid 4117 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝑊)
65 simprr 791 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
6661, 64, 653jca 1234 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
6766ex 448 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ((𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
6867eximdv 1832 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
6959, 68mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
7023, 69mpdan 698 1 (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wnf 1698  wcel 1976  wnfc 2737  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  Vcvv 3172  cdif 3536  cin 3538  wss 3539  𝒫 cpw 4107   cuni 4366   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5029  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  (,)cioo 12002  t crest 15850  topGenctg 15867  Topctop 20459  Clsdccld 20572   Cn ccn 20780  Compccmp 20941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  38750
  Copyright terms: Public domain W3C validator