MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  str0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem str0 16523
Description: All components of the empty set are empty sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
str0.a 𝐹 = Slot 𝐼
Assertion
Ref Expression
str0 ∅ = (𝐹‘∅)

Proof of Theorem str0
StepHypRef Expression
1 0ex 5202 . . 3 ∅ ∈ V
2 str0.a . . 3 𝐹 = Slot 𝐼
31, 2strfvn 16493 . 2 (𝐹‘∅) = (∅‘𝐼)
4 0fv 6702 . 2 (∅‘𝐼) = ∅
53, 4eqtr2i 2842 1 ∅ = (𝐹‘∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  c0 4288  cfv 6348  Slot cslot 16470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-slot 16475
This theorem is referenced by:  base0  16524  strfvi  16525  setsnid  16527  resslem  16545  oppchomfval  16972  fuchom  17219  xpchomfval  17417  xpccofval  17420  0pos  17552  oduleval  17729  frmdplusg  18007  oppgplusfval  18414  symgplusg  18445  mgpplusg  19172  opprmulfval  19304  sralem  19878  srasca  19882  sravsca  19883  sraip  19884  psrplusg  20089  psrmulr  20092  psrvscafval  20098  opsrle  20184  ply1plusgfvi  20338  psr1sca2  20347  ply1sca2  20350  zlmlem  20592  zlmvsca  20597  thlle  20769  thloc  20771  resstopn  21722  tnglem  23176  tngds  23184  ttglem  26589  iedgval0  26752  resvlem  30831  mendplusgfval  39663  mendmulrfval  39665  mendsca  39667  mendvscafval  39668  efmndplusg  43978
  Copyright terms: Public domain W3C validator