MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strfv 15835
Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 16874) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 15793). By virtue of ndxid 15812, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv.s 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
Assertion
Ref Expression
strfv (𝐶𝑉𝐶 = (𝐸𝑆))

Proof of Theorem strfv
StepHypRef Expression
1 strfv.s . . 3 𝑆 Struct 𝑋
2 structex 15798 . . 3 (𝑆 Struct 𝑋𝑆 ∈ V)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝑆 ∈ V
41structfun 15803 . 2 Fun 𝑆
5 strfv.e . 2 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6 strfv.n . . 3 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7 opex 4898 . . . 4 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
87snss 4291 . . 3 (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
96, 8mpbir 221 . 2 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
103, 4, 5, 9strfv2 15834 1 (𝐶𝑉𝐶 = (𝐸𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559  {csn 4153  cop 4159   class class class wbr 4618  cfv 5852   Struct cstr 15784  ndxcnx 15785  Slot cslot 15787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-struct 15790  df-slot 15792
This theorem is referenced by:  strfv3  15836  1strbas  15908  2strbas  15912  2strop  15913  2strbas1  15915  2strop1  15916  rngbase  15929  rngplusg  15930  rngmulr  15931  srngbase  15937  srngplusg  15938  srngmulr  15939  srnginvl  15940  lmodbase  15946  lmodplusg  15947  lmodsca  15948  lmodvsca  15949  ipsbase  15953  ipsaddg  15954  ipsmulr  15955  ipssca  15956  ipsvsca  15957  ipsip  15958  phlbase  15963  phlplusg  15964  phlsca  15965  phlvsca  15966  phlip  15967  topgrpbas  15971  topgrpplusg  15972  topgrptset  15973  otpsbas  15980  otpstset  15981  otpsle  15982  otpsbasOLD  15984  otpstsetOLD  15985  otpsleOLD  15986  odrngbas  15995  odrngplusg  15996  odrngmulr  15997  odrngtset  15998  odrngle  15999  odrngds  16000  imassca  16107  imastset  16110  fuccofval  16547  setcbas  16656  catchomfval  16676  catccofval  16678  estrcbas  16693  ipobas  17083  ipolerval  17084  ipotset  17085  psrbas  19306  psrplusg  19309  psrmulr  19312  psrsca  19317  psrvscafval  19318  cnfldbas  19678  cnfldadd  19679  cnfldmul  19680  cnfldcj  19681  cnfldtset  19682  cnfldle  19683  cnfldds  19684  cnfldunif  19685  trkgbas  25257  trkgdist  25258  trkgitv  25259  algbase  37256  algaddg  37257  algmulr  37258  algsca  37259  algvsca  37260  rngchomfvalALTV  41293  rngccofvalALTV  41296  ringchomfvalALTV  41356  ringccofvalALTV  41359
  Copyright terms: Public domain W3C validator