MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlemor1 15885
Description: Add one element to the end of a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
strlemor.i 𝐼 ∈ ℕ0
strlemor.o 𝐼 < 𝐽
strlemor.j 𝐽 ∈ ℕ
strlemor.a 𝐴 = 𝐽
strlemor1.g 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})
Assertion
Ref Expression
strlemor1 (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽))

Proof of Theorem strlemor1
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . . . . 6 (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
21simpli 474 . . . . 5 Fun 𝐹
3 funcnvsn 5896 . . . . 5 Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩}
42, 3pm3.2i 471 . . . 4 (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩})
5 cnvcnvss 5551 . . . . . . 7 𝐹𝐹
6 dmss 5288 . . . . . . 7 (𝐹𝐹 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹)
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹
8 cnvcnvsn 5574 . . . . . . . . 9 {⟨𝐽, 𝑋⟩} = {⟨𝑋, 𝐽⟩}
9 cnvcnvss 5551 . . . . . . . . 9 {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩}
108, 9eqsstr3i 3620 . . . . . . . 8 {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩}
11 dmss 5288 . . . . . . . 8 ({⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩} → dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩}
13 dmsnopss 5569 . . . . . . 7 dom {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ {𝐽}
1412, 13sstri 3597 . . . . . 6 dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {𝐽}
15 ss2in 3823 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹 ∧ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {𝐽}) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}))
167, 14, 15mp2an 707 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽})
17 strlemor.o . . . . . . . . 9 𝐼 < 𝐽
18 strlemor.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 ∈ ℕ0
1918nn0rei 11248 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ ℝ
20 strlemor.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ ℕ
2120nnrei 10974 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ ℝ
2219, 21ltnlei 10103 . . . . . . . . 9 (𝐼 < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽𝐼)
2317, 22mpbi 220 . . . . . . . 8 ¬ 𝐽𝐼
24 elfzle2 12284 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (1...𝐼) → 𝐽𝐼)
2523, 24mto 188 . . . . . . 7 ¬ 𝐽 ∈ (1...𝐼)
261simpri 478 . . . . . . . 8 dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼)
2726sseli 3584 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ dom 𝐹𝐽 ∈ (1...𝐼))
2825, 27mto 188 . . . . . 6 ¬ 𝐽 ∈ dom 𝐹
29 disjsn 4221 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅ ↔ ¬ 𝐽 ∈ dom 𝐹)
3028, 29mpbir 221 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅
31 sseq0 3952 . . . . 5 (((dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) ∧ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅)
3216, 30, 31mp2an 707 . . . 4 (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅
33 funun 5892 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅) → Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩}))
344, 32, 33mp2an 707 . . 3 Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
35 strlemor1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})
36 strlemor.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = 𝐽
3736opeq1i 4378 . . . . . . . . . . 11 𝐴, 𝑋⟩ = ⟨𝐽, 𝑋
3837sneqi 4164 . . . . . . . . . 10 {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {⟨𝐽, 𝑋⟩}
3938uneq2i 3747 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
4035, 39eqtri 2648 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
4140cnveqi 5262 . . . . . . 7 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
42 cnvun 5501 . . . . . . 7 (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
4341, 42eqtri 2648 . . . . . 6 𝐺 = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
4443cnveqi 5262 . . . . 5 𝐺 = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
45 cnvun 5501 . . . . . 6 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
468uneq2i 3747 . . . . . 6 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4745, 46eqtri 2648 . . . . 5 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4844, 47eqtri 2648 . . . 4 𝐺 = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4948funeqi 5870 . . 3 (Fun 𝐺 ↔ Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩}))
5034, 49mpbir 221 . 2 Fun 𝐺
5140dmeqi 5290 . . . 4 dom 𝐺 = dom (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
52 dmun 5296 . . . 4 dom (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
5351, 52eqtri 2648 . . 3 dom 𝐺 = (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
5418nn0zi 11347 . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℤ
5520nnzi 11346 . . . . . . 7 𝐽 ∈ ℤ
5619, 21, 17ltleii 10105 . . . . . . 7 𝐼𝐽
57 eluz2 11637 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼𝐽))
5854, 55, 56, 57mpbir3an 1242 . . . . . 6 𝐽 ∈ (ℤ𝐼)
59 fzss2 12320 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) → (1...𝐼) ⊆ (1...𝐽))
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5 (1...𝐼) ⊆ (1...𝐽)
6126, 60sstri 3597 . . . 4 dom 𝐹 ⊆ (1...𝐽)
62 elfz1end 12310 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ ↔ 𝐽 ∈ (1...𝐽))
6320, 62mpbi 220 . . . . . 6 𝐽 ∈ (1...𝐽)
64 snssi 4313 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (1...𝐽) → {𝐽} ⊆ (1...𝐽))
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5 {𝐽} ⊆ (1...𝐽)
6613, 65sstri 3597 . . . 4 dom {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ (1...𝐽)
6761, 66unssi 3771 . . 3 (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩}) ⊆ (1...𝐽)
6853, 67eqsstri 3619 . 2 dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽)
6950, 68pm3.2i 471 1 (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cun 3558  cin 3559  wss 3560  c0 3896  {csn 4153  cop 4159   class class class wbr 4618  ccnv 5078  dom cdm 5079  Fun wfun 5844  cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882   < clt 10019  cle 10020  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266
This theorem is referenced by:  strlemor2  15886  strlemor3  15887
  Copyright terms: Public domain W3C validator