MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor2OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlemor2OLD 16017
Description: Add two elements to the end of a structure. Obsolete as of 26-Nov-2021. See comment of strlemor0OLD 16015. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
strlemor.i 𝐼 ∈ ℕ0
strlemor.o 𝐼 < 𝐽
strlemor.j 𝐽 ∈ ℕ
strlemor.a 𝐴 = 𝐽
strlemor2.o 𝐽 < 𝐾
strlemor2.k 𝐾 ∈ ℕ
strlemor2.b 𝐵 = 𝐾
strlemor2.g 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩})
Assertion
Ref Expression
strlemor2OLD (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐾))

Proof of Theorem strlemor2OLD
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . 3 (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
2 strlemor.i . . 3 𝐼 ∈ ℕ0
3 strlemor.o . . 3 𝐼 < 𝐽
4 strlemor.j . . 3 𝐽 ∈ ℕ
5 strlemor.a . . 3 𝐴 = 𝐽
6 eqid 2651 . . 3 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})
71, 2, 3, 4, 5, 6strlemor1OLD 16016 . 2 (Fun (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) ∧ dom (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) ⊆ (1...𝐽))
84nnnn0i 11338 . 2 𝐽 ∈ ℕ0
9 strlemor2.o . 2 𝐽 < 𝐾
10 strlemor2.k . 2 𝐾 ∈ ℕ
11 strlemor2.b . 2 𝐵 = 𝐾
12 df-pr 4213 . . . 4 {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩})
1312uneq2i 3797 . . 3 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩}))
14 strlemor2.g . . 3 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩})
15 unass 3803 . . 3 ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩}))
1613, 14, 153eqtr4i 2683 . 2 𝐺 = ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩})
177, 8, 9, 10, 11, 16strlemor1OLD 16016 1 (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216   class class class wbr 4685  ccnv 5142  dom cdm 5143  Fun wfun 5920  (class class class)co 6690  1c1 9975   < clt 10112  cn 11058  0cn0 11330  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  strlemor3OLD  16018
  Copyright terms: Public domain W3C validator