Theorem strlemor3OLD 16018

Description: Add three elements to the end of a structure. Obsolete as of 26-Nov-2021. See comment of strlemor0OLD 16015. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
strlemor.f	⊢ (Fun ◡◡𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
strlemor.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ0
strlemor.o	⊢ 𝐼 < 𝐽
strlemor.j	⊢ 𝐽 ∈ ℕ
strlemor.a	⊢ 𝐴 = 𝐽
strlemor2.o	⊢ 𝐽 < 𝐾
strlemor2.k	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
strlemor2.b	⊢ 𝐵 = 𝐾
strlemor3.o	⊢ 𝐾 < 𝐿
strlemor3.l	⊢ 𝐿 ∈ ℕ
strlemor3.c	⊢ 𝐶 = 𝐿
strlemor3.g	⊢ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩})

Assertion

Ref	Expression
strlemor3OLD	⊢ (Fun ◡◡𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐿))

Proof of Theorem strlemor3OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strlemor.f	. . 3 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
2		strlemor.i	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ0
3		strlemor.o	. . 3 ⊢ 𝐼 < 𝐽
4		strlemor.j	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
5		strlemor.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐽
6		strlemor2.o	. . 3 ⊢ 𝐽 < 𝐾
7		strlemor2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
8		strlemor2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = 𝐾
9		eqid 2651	. . 3 ⊢ (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩})
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	strlemor2OLD 16017	. 2 ⊢ (Fun ◡◡(𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∧ dom (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ⊆ (1...𝐾))
11	7	nnnn0i 11338	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
12		strlemor3.o	. 2 ⊢ 𝐾 < 𝐿
13		strlemor3.l	. 2 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ
14		strlemor3.c	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐿
15		df-tp 4215	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩})
16	15	uneq2i 3797	. . 3 ⊢ (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}))
17		strlemor3.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩})
18		unass 3803	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}))
19	16, 17, 18	3eqtr4i 2683	. 2 ⊢ 𝐺 = ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩})
20	10, 11, 12, 13, 14, 19	strlemor1OLD 16016	1 ⊢ (Fun ◡◡𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐿))

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212  {ctp 4214  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ^◡ccnv 5142  dom cdm 5143  Fun wfun 5920  (class class class)co 6690  1c1 9975   < clt 10112  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  ...cfz 12364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365

This theorem is referenced by: (None)