MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structgrssvtxlemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structgrssvtxlemOLD 25960
Description: Obsolete version of structgrssvtxlem 25957 as of 14-Nov-2021. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
structgrssvtxOLD.g (𝜑𝐺𝑋)
structgrssvtxOLD.f (𝜑 → Fun 𝐺)
structgrssvtxOLD.v (𝜑𝑉𝑌)
structgrssvtxOLD.e (𝜑𝐸𝑍)
structgrssvtxOLD.s (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
structgrssvtxlemOLD (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))

Proof of Theorem structgrssvtxlemOLD
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 structgrssvtxOLD.g . . 3 (𝜑𝐺𝑋)
2 dmexg 7139 . . 3 (𝐺𝑋 → dom 𝐺 ∈ V)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ V)
4 structgrssvtxOLD.v . . . . 5 (𝜑𝑉𝑌)
5 structgrssvtxOLD.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑍)
6 dmpropg 5644 . . . . 5 ((𝑉𝑌𝐸𝑍) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)})
74, 5, 6syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)})
8 structgrssvtxOLD.s . . . . 5 (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
9 dmss 5355 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ dom 𝐺)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ dom 𝐺)
117, 10eqsstr3d 3673 . . 3 (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺)
12 fvex 6239 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ V
13 fvex 6239 . . . . 5 (.ef‘ndx) ∈ V
1412, 13prss 4383 . . . 4 (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) ↔ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺)
15 slotsbaseefdif 25918 . . . . . 6 (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
16 neeq1 2885 . . . . . . 7 (𝑎 = (Base‘ndx) → (𝑎𝑏 ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑏))
17 neeq2 2886 . . . . . . 7 (𝑏 = (.ef‘ndx) → ((Base‘ndx) ≠ 𝑏 ↔ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)))
1816, 17rspc2ev 3355 . . . . . 6 (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏)
1915, 18mp3an3 1453 . . . . 5 (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏)
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏))
2114, 20syl5bir 233 . . 3 (𝜑 → ({(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏))
2211, 21mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏)
23 hashge2el2difr 13301 . 2 ((dom 𝐺 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏) → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))
243, 22, 23syl2anc 694 1 (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  {cpr 4212  cop 4216   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Fun wfun 5920  cfv 5926  cle 10113  2c2 11108  #chash 13157  ndxcnx 15901  Basecbs 15904  .efcedgf 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-edgf 25913
This theorem is referenced by:  structgrssvtxOLD  25961  structgrssiedgOLD  25962
  Copyright terms: Public domain W3C validator