Theorem structgrssvtxlemOLD 25960

Description: Obsolete version of structgrssvtxlem 25957 as of 14-Nov-2021. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtxOLD.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
structgrssvtxOLD.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
structgrssvtxOLD.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
structgrssvtxOLD.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
structgrssvtxOLD.s	⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
structgrssvtxlemOLD	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))

Proof of Theorem structgrssvtxlemOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structgrssvtxOLD.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
2		dmexg 7139	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → dom 𝐺 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ V)
4		structgrssvtxOLD.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
5		structgrssvtxOLD.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
6		dmpropg 5644	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑌 ∧ 𝐸 ∈ 𝑍) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)})
7	4, 5, 6	syl2anc 694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)})
8		structgrssvtxOLD.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
9		dmss 5355	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ dom 𝐺)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ dom 𝐺)
11	7, 10	eqsstr3d 3673	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺)
12		fvex 6239	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
13		fvex 6239	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ V
14	12, 13	prss 4383	. . . 4 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) ↔ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺)
15		slotsbaseefdif 25918	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
16		neeq1 2885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (Base‘ndx) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑏))
17		neeq2 2886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (.ef‘ndx) → ((Base‘ndx) ≠ 𝑏 ↔ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)))
18	16, 17	rspc2ev 3355	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
19	15, 18	mp3an3 1453	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
21	14, 20	syl5bir 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
22	11, 21	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
23		hashge2el2difr 13301	. 2 ⊢ ((dom 𝐺 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏) → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))
24	3, 22, 23	syl2anc 694	1 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {cpr 4212  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Fun wfun 5920  ‘cfv 5926   ≤ cle 10113  2c2 11108  #chash 13157  ndxcnx 15901  Basecbs 15904  .efcedgf 25912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-edgf 25913

This theorem is referenced by:  structgrssvtxOLD  25961  structgrssiedgOLD  25962