Theorem sub32d 10612

Description: Swap the second and third terms in a double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sub32d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) − 𝐵))

Proof of Theorem sub32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		sub32 10503	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) − 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1477	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  (class class class)co 6809  ℂcc 10122   − cmin 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-po 5183  df-so 5184  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-ltxr 10267  df-sub 10456

This theorem is referenced by:  hashfzo  13404  lswccatn0lsw  13559  revccat  13711  repswrevw  13729  isercolllem1  14590  iseralt  14610  prmdiv  15688  fldivp1  15799  efgredleme  18352  cphipval  23238  dvexp3  23936  dvfsumlem2  23985  isosctrlem2  24744  harmonicbnd4  24932  logfacrlim  25144  logexprlim  25145  lgsquadlem1  25300  rpvmasumlem  25371  dchrisumlem1  25373  mulog2sumlem3  25420  vmalogdivsum  25423  selberg2lem  25434  selberg2  25435  selberg4  25445  brbtwn2  25980  colinearalglem2  25982  colinearalglem4  25984  ipval2  27867  bj-bary1lem  33467  jm3.1lem1  38082  jm3.1lem2  38083  fourierdlem42  40865  fourierdlem89  40911  fourierdlem90  40912  fourierdlem91  40913  sigarperm  41551  pwdif  42007  m1modmmod  42822