MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subadd23d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subadd23d 10265
Description: Commutative/associative law for addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subadd23d (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem subadd23d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subadd23 10144 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐶𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1317 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9790   + caddc 9795  cmin 10117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119
This theorem is referenced by:  lincmb01cmp  12142  iccf1o  12143  subfzo0  12407  modfzo0difsn  12559  ccatswrd  13254  isercoll2  14193  fprodser  14464  bpoly4  14575  pythagtriplem1  15305  ovollb2lem  22980  dvfsumlem1  23510  quart1lem  24299  emcllem2  24440  basellem8  24531  lgseisenlem1  24817  numclwlk3lem3  26366  ipval2  26747  lt2addrd  28709  bj-bary1lem1  32134  poimirlem19  32394  acongrep  36361  jm3.1lem2  36399  oddfl  38226  stoweidlem26  38716  fmtnorec2lem  39790  fmtnorec3  39796  cnambpcma  40161  eucrctshift  41406  av-numclwlk3lem3  41501
  Copyright terms: Public domain W3C validator