Theorem subadd4b 41554

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
subadd4b.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subadd4b.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subadd4b.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
subadd4b.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subadd4b	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))

Proof of Theorem subadd4b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subadd4b.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subadd4b.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subadd4b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
4		subadd4b.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	subadd4d 11048	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐷 − 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))
6	1, 2	subcld 11000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	6, 3, 4	subsub2d 11029	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐷 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 − 𝐷)))
8	2, 3	addcomd 10845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐵))
9	8	oveq2d 7175	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)))
10	1, 4, 3, 2	addsub4d 11047	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))
11	9, 10	eqtrd 2859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))
12	5, 7, 11	3eqtr3d 2867	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7159  ℂcc 10538   + caddc 10543   − cmin 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-sub 10875

This theorem is referenced by:  fourierdlem42  42441  fourierdlem107  42505