MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subaddd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subaddd 10362
Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subaddd (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subaddd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subadd 10236 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
51, 2, 3, 4syl3anc 1323 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  cc 9886   + caddc 9891  cmin 10218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-ltxr 10031  df-sub 10220
This theorem is referenced by:  addid0  10402  subdi  10415  zneo  11412  flpmodeq  12621  cvgcmpce  14488  bpolysum  14720  sin01bnd  14851  cos01bnd  14852  phiprmpw  15416  fldivp1  15536  pcfac  15538  sylow2a  17966  dveflem  23663  aaliou3lem7  24025  mtest  24079  efiarg  24274  quad2  24483  dcubic  24490  quart  24505  efiatan2  24561  dmgmaddn0  24666  lgamgulmlem3  24674  m1lgs  25030  logdivbnd  25162  axeuclidlem  25759  ballotlemic  30373  signslema  30443  signsvtn  30465  subfaclim  30913  mblfinlem3  33115  mblfinlem4  33116  pell1qrge1  36949  rmxluc  37016  itgsinexp  39503  fourierdlem19  39676  fourierdlem35  39692  fourierdlem41  39698  fourierdlem51  39707  fourierdlem79  39735  meaiininclem  40033  nnpw2pmod  41695
  Copyright terms: Public domain W3C validator