MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subaddrii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subaddrii 10330
Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
negidi.1 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2 𝐵 ∈ ℂ
subadd.3 𝐶 ∈ ℂ
subaddri.4 (𝐵 + 𝐶) = 𝐴
Assertion
Ref Expression
subaddrii (𝐴𝐵) = 𝐶

Proof of Theorem subaddrii
StepHypRef Expression
1 subaddri.4 . 2 (𝐵 + 𝐶) = 𝐴
2 negidi.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
3 pncan3i.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
4 subadd.3 . . 3 𝐶 ∈ ℂ
52, 3, 4subaddi 10328 . 2 ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)
61, 5mpbir 221 1 (𝐴𝐵) = 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6615  cc 9894   + caddc 9899  cmin 10226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228
This theorem is referenced by:  2m1e1  11095  halfthird  11645  5recm6rec  11646  fzo0to42pr  12512  4bc3eq4  13071  4bc2eq6  13072  0.999...OLD  14557  bpoly3  14733  bpoly4  14734  cos1bnd  14861  cos2bnd  14862  pythagtriplem1  15464  iblitg  23475  cosq14gt0  24200  cosq14ge0  24201  sincos6thpi  24205  pige3  24207  cosne0  24214  resinf1o  24220  logimul  24298  ang180lem2  24474  mcubic  24508  quartlem1  24518  acosneg  24548  acosbnd  24561  atanlogsublem  24576  chtub  24871  lgsdir2lem1  24984  lgsdir2lem2  24985  lgsdir2lem3  24986  addltmulALT  29193  fib5  30290  fib6  30291  problem3  31322  problem4  31323  lhe4.4ex1a  38049  stoweidlem13  39567  stoweidlem26  39580  wallispilem4  39622  41prothprmlem2  40864  linevalexample  41502  5m4e1  41876
  Copyright terms: Public domain W3C validator