MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subcl 10240
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 10232 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2 negeu 10231 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
32ancoms 469 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4 riotacl 6590 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
61, 5eqeltrd 2698 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  ∃!wreu 2910  crio 6575  (class class class)co 6615  cc 9894   + caddc 9899  cmin 10226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228
This theorem is referenced by:  negcl  10241  subf  10243  pncan3  10249  npcan  10250  addsubass  10251  addsub  10252  addsub12  10254  addsubeq4  10256  npncan  10262  nppcan  10263  nnpcan  10264  nppcan3  10265  subcan2  10266  subsub2  10269  subsub4  10274  nnncan  10276  nnncan1  10277  nnncan2  10278  npncan3  10279  addsub4  10284  subadd4  10285  peano2cnm  10307  subcli  10317  subcld  10352  subeqrev  10413  subdi  10423  subdir  10424  mulsub2  10434  recextlem1  10617  recex  10619  mulcan1g  10640  div2sub  10810  cju  10976  halfaddsubcl  11224  halfaddsub  11225  iccf1o  12274  modsumfzodifsn  12699  sersub  12800  sqsubswap  12880  subsq  12928  subsq2  12929  bcn2  13062  swrdccatin12lem2b  13439  swrdccatin12lem2  13442  shftval2  13765  2shfti  13770  sqabssub  13973  abssub  14016  abs3dif  14021  abs2dif  14022  abs2difabs  14024  climuni  14233  cjcn2  14280  recn2  14281  imcn2  14282  o1sub  14296  climsub  14314  caucvgr  14356  iseralt  14365  fsum0diag2  14462  arisum2  14537  geoserg  14542  geolim  14545  geolim2  14546  georeclim  14547  geo2sum  14548  geoisum1c  14555  fallfacval2  14686  fallfacval3  14687  fallfaccl  14691  risefallfac  14699  fallfacp1  14705  0fallfac  14712  binomfallfaclem2  14715  bpoly2  14732  bpoly3  14733  fsumcube  14735  tanadd  14841  addsin  14844  fzocongeq  14989  odd2np1  15008  divalglem9  15067  phiprm  15425  pythagtriplem4  15467  pythagtriplem12  15474  pythagtriplem14  15476  pythagtriplem16  15478  fldivp1  15544  4sqlem19  15610  vdwapun  15621  vdwlem6  15633  xrsdsreclb  19733  cnmet  22515  icccvx  22689  reparphti  22737  pcorevlem  22766  cncmet  23059  dveflem  23680  dvef  23681  dv11cn  23702  coeeulem  23918  geolim3  24032  abelthlem2  24124  abelthlem7  24130  efimpi  24181  ptolemy  24186  tangtx  24195  abssinper  24208  cosne0  24214  tanregt0  24223  eflogeq  24286  logneg2  24299  advlogexp  24335  logtayl  24340  logtayl2  24342  ang180lem1  24473  ang180lem2  24474  ang180lem3  24475  lawcos  24480  pythag  24481  isosctrlem1  24482  isosctrlem2  24483  asinlem  24529  asinlem2  24530  asinlem3a  24531  asinlem3  24532  asinf  24533  acosf  24535  atanf  24541  asinneg  24547  efiasin  24549  sinasin  24550  asinsin  24553  acoscos  24554  asinbnd  24560  cosasin  24565  atanneg  24568  atancj  24571  efiatan  24573  atanlogaddlem  24574  atanlogadd  24575  atanlogsublem  24576  atanlogsub  24577  efiatan2  24578  2efiatan  24579  cosatan  24582  atantan  24584  atanbndlem  24586  atans2  24592  dvatan  24596  atantayl  24598  atantayl2  24599  birthdaylem2  24613  scvxcvx  24646  basellem8  24748  1sgm2ppw  24859  logfacbnd3  24882  logfacrlim  24883  perfect1  24887  dchrsum2  24927  sumdchr2  24929  bposlem9  24951  lgsquad2  25045  rplogsumlem1  25107  dchrmusum2  25117  log2sumbnd  25167  pntrsumo1  25188  brbtwn2  25719  colinearalg  25724  axcgrid  25730  axsegconlem1  25731  ax5seglem1  25742  ax5seglem2  25743  ax5seglem3  25745  ax5seglem5  25747  ax5seglem9  25751  axbtwnid  25753  axeuclidlem  25776  axcontlem2  25779  axcontlem4  25781  axcontlem7  25784  axcontlem8  25785  crctcshwlkn0lem6  26610  eucrctshift  27003  hvmulcan2  27818  subfacp1lem6  30928  cvxsconn  30986  resconn  30989  sinccvglem  31327  sin2h  33070  tan2h  33072  itg2addnclem3  33134  ftc1anclem4  33159  ftc1anclem5  33160  ftc1anclem6  33161  ftc1anclem7  33162  ftc1anc  33164  dvasin  33167  dvacos  33168  rmspecsqrtnq  36989  rmspecsqrtnqOLD  36990  jm2.17a  37046  acongeq  37069  jm2.27c  37093  lhe4.4ex1a  38049  dvconstbi  38054  abssubrp  38986  cnambpcma  40636  pfxccatin12lem1  40752  pfxccatin12lem2  40753
  Copyright terms: Public domain W3C validator