MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subcmn 18166
Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgabl.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
subcmn ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2622 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝐻) = (0g𝐻)
42, 3mndidcl 17232 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Mnd → (0g𝐻) ∈ (Base‘𝐻))
5 n0i 3898 . . . . . 6 ((0g𝐻) ∈ (Base‘𝐻) → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐻 ∈ Mnd → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
7 subgabl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
8 reldmress 15850 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾s
98ovprc2 6641 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ V → (𝐺s 𝑆) = ∅)
107, 9syl5eq 2667 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V → 𝐻 = ∅)
1110fveq2d 6154 . . . . . 6 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = (Base‘∅))
12 base0 15836 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
1311, 12syl6eqr 2673 . . . . 5 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = ∅)
146, 13nsyl2 142 . . . 4 (𝐻 ∈ Mnd → 𝑆 ∈ V)
1514adantl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝑆 ∈ V)
16 eqid 2621 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
177, 16ressplusg 15917 . . 3 (𝑆 ∈ V → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1815, 17syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
19 simpr 477 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ Mnd)
20 simpl 473 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐺 ∈ CMnd)
21 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
227, 21ressbasss 15856 . . . 4 (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
2322sseli 3580 . . 3 (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
2422sseli 3580 . . 3 (𝑦 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
2521, 16cmncom 18133 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
2620, 23, 24, 25syl3an 1365 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
271, 18, 19, 26iscmnd 18129 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  c0 3893  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  s cress 15785  +gcplusg 15865  0gc0g 16024  Mndcmnd 17218  CMndccmn 18117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-cmn 18119
This theorem is referenced by:  submcmn  18167  unitabl  18592  subrgcrng  18708  xrge0cmn  19710  tsmssubm  21859  amgmlem  24623  amgmwlem  41867  amgmlemALT  41868
  Copyright terms: Public domain W3C validator