Theorem subcn2 14945

Description: Complex number subtraction is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem subcn2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 10880	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → -𝐶 ∈ ℂ)
2		addcn2 14944	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
3	1, 2	syl3an3 1161	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
4		negcl 10880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → -𝑣 ∈ ℂ)
5		fvoveq1 7173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (abs‘(𝑤 − -𝐶)) = (abs‘(-𝑣 − -𝐶)))
6	5	breq1d 5069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → ((abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧))
7	6	anbi2d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧)))
8		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (𝑢 + 𝑤) = (𝑢 + -𝑣))
9	8	fvoveq1d 7172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) = (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))))
10	9	breq1d 5069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → ((abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴 ↔ (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
11	7, 10	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
12	11	rspcv 3618	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑣 ∈ ℂ → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
13	4, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
14	13	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
15		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑣 ∈ ℂ)
16		simpll3 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	15, 16	neg2subd 11008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (-𝑣 − -𝐶) = (𝐶 − 𝑣))
18	17	fveq2d 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) = (abs‘(𝐶 − 𝑣)))
19	16, 15	abssubd 14807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐶 − 𝑣)) = (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
20	18, 19	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) = (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
21	20	breq1d 5069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧))
22	21	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧)))
23		negsub 10928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + -𝑣) = (𝑢 − 𝑣))
24	23	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + -𝑣) = (𝑢 − 𝑣))
25		simpll2 1209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25, 16	negsubd 10997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
27	24, 26	oveq12d 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶)) = ((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶)))
28	27	fveq2d 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) = (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))))
29	28	breq1d 5069	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴 ↔ (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴))
30	22, 29	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
31	14, 30	sylibd 241	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
32	31	ralrimdva 3189	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
33	32	ralimdva 3177	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
34	33	reximdv 3273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
35	34	reximdv 3273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
36	3, 35	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529   + caddc 10534   < clt 10669   − cmin 10864  -cneg 10865  ℝ⁺crp 12383  abscabs 14587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589

This theorem is referenced by:  climsub  14984  rlimsub  14994  subcn  23468