MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subdird 11086
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subdird (𝜑 → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subdid.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subdir 11063 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1363 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10524   · cmul 10531  cmin 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861
This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11090  ltmul1a  11478  xp1d2m1eqxm1d2  11880  div4p1lem1div2  11881  lincmb01cmp  12871  iccf1o  12872  modmul1  13282  remullem  14477  mulcn2  14942  fsumparts  15151  pwdif  15213  geo2sum  15219  fallfacfwd  15380  bpoly4  15403  modprm0  16132  mul4sqlem  16279  vdwapun  16300  icopnfcnv  23475  itgconst  24348  itgmulc2lem2  24362  dvmulbr  24465  dvrec  24481  dvsincos  24507  cmvth  24517  dvcvx  24546  dvfsumlem1  24552  dvfsumlem2  24553  coeeulem  24743  abelthlem6  24953  tangtx  25020  tanarg  25129  logdivlti  25130  logcnlem4  25155  affineequiv  25328  affineequiv2  25329  chordthmlem2  25338  chordthmlem4  25340  mcubic  25352  dquartlem2  25357  quart1lem  25360  quart1  25361  quartlem1  25362  dvatan  25440  atantayl  25442  lgamcvg2  25560  wilthlem2  25574  logfaclbnd  25726  logexprlim  25729  perfectlem2  25734  dchrsum2  25772  sumdchr2  25774  bposlem9  25796  lgsquadlem1  25884  2sqmod  25940  chebbnd1lem3  25975  rpvmasumlem  25991  log2sumbnd  26048  chpdifbndlem1  26057  selberg3lem1  26061  selberg4lem1  26064  selbergr  26072  selberg3r  26073  selberg4r  26074  pntrlog2bndlem3  26083  pntrlog2bndlem5  26085  pntibndlem2  26095  pntlemo  26111  ttgcontlem1  26599  brbtwn2  26619  colinearalglem1  26620  axsegconlem9  26639  axcontlem2  26679  axcontlem7  26684  axcontlem8  26685  sinccvglem  32813  bj-bary1lem  34480  bj-bary1lem1  34481  itgmulc2nclem2  34841  bfp  34985  pellexlem6  39311  congmul  39444  areaquad  39703  itgsinexp  42120  stoweidlem13  42179  stoweidlem14  42180  stoweidlem26  42192  fourierdlem6  42279  fourierdlem26  42299  fourierdlem42  42315  fourierdlem65  42337  fourierdlem95  42367  smfmullem1  42947  sigarmf  42992  cevathlem2  43006  perfectALTVlem2  43734  submuladdmuld  44586  affinecomb2  44588  affineid  44589  rrx2linest  44627  itscnhlinecirc02plem2  44668  inlinecirc02p  44672  joinlmulsubmuld  44773
  Copyright terms: Public domain W3C validator