MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subdird 10432
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subdird (𝜑 → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subdid.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subdir 10409 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1323 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  (class class class)co 6605  cc 9879   · cmul 9886  cmin 10211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-ltxr 10024  df-sub 10213
This theorem is referenced by:  subdir2d  10433  mulsubfacd  10437  ltmul1a  10817  xp1d2m1eqxm1d2  11231  div4p1lem1div2  11232  lincmb01cmp  12254  iccf1o  12255  modmul1  12660  remullem  13797  mulcn2  14255  fsumparts  14460  geo2sum  14524  fallfacfwd  14687  bpoly4  14710  modprm0  15429  mul4sqlem  15576  vdwapun  15597  icopnfcnv  22644  itgconst  23486  itgmulc2lem2  23500  dvmulbr  23603  dvrec  23619  dvsincos  23643  cmvth  23653  dvcvx  23682  dvfsumlem1  23688  dvfsumlem2  23689  coeeulem  23879  abelthlem6  24089  tangtx  24156  tanarg  24264  logdivlti  24265  logcnlem4  24286  affineequiv  24448  affineequiv2  24449  chordthmlem2  24455  chordthmlem4  24457  mcubic  24469  dquartlem2  24474  quart1lem  24477  quart1  24478  quartlem1  24479  dvatan  24557  atantayl  24559  lgamcvg2  24676  wilthlem2  24690  logfaclbnd  24842  logexprlim  24845  perfectlem2  24850  dchrsum2  24888  sumdchr2  24890  bposlem9  24912  lgsquadlem1  25000  chebbnd1lem3  25055  rpvmasumlem  25071  log2sumbnd  25128  chpdifbndlem1  25137  selberg3lem1  25141  selberg4lem1  25144  selbergr  25152  selberg3r  25153  selberg4r  25154  pntrlog2bndlem3  25163  pntrlog2bndlem5  25165  pntibndlem2  25175  pntlemo  25191  ttgcontlem1  25660  brbtwn2  25680  colinearalglem1  25681  axsegconlem9  25700  axcontlem2  25740  axcontlem7  25745  axcontlem8  25746  2sqmod  29425  sinccvglem  31266  bj-bary1lem  32785  bj-bary1lem1  32786  itgmulc2nclem2  33095  bfp  33241  pellexlem6  36864  congmul  37000  areaquad  37269  itgsinexp  39464  stoweidlem13  39524  stoweidlem14  39525  stoweidlem26  39537  fourierdlem6  39624  fourierdlem26  39644  fourierdlem42  39660  fourierdlem65  39682  fourierdlem95  39712  smfmullem1  40292  sigarmf  40334  cevathlem2  40348  pwdif  40788  perfectALTVlem2  40914  joinlmulsubmuld  41797
  Copyright terms: Public domain W3C validator