MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subdird 10525
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subdird (𝜑 → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subdid.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subdir 10502 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1366 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972   · cmul 9979  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306
This theorem is referenced by:  subdir2d  10526  mulsubfacd  10530  ltmul1a  10910  xp1d2m1eqxm1d2  11324  div4p1lem1div2  11325  lincmb01cmp  12353  iccf1o  12354  modmul1  12763  remullem  13912  mulcn2  14370  fsumparts  14582  geo2sum  14648  fallfacfwd  14811  bpoly4  14834  modprm0  15557  mul4sqlem  15704  vdwapun  15725  icopnfcnv  22788  itgconst  23630  itgmulc2lem2  23644  dvmulbr  23747  dvrec  23763  dvsincos  23789  cmvth  23799  dvcvx  23828  dvfsumlem1  23834  dvfsumlem2  23835  coeeulem  24025  abelthlem6  24235  tangtx  24302  tanarg  24410  logdivlti  24411  logcnlem4  24436  affineequiv  24598  affineequiv2  24599  chordthmlem2  24605  chordthmlem4  24607  mcubic  24619  dquartlem2  24624  quart1lem  24627  quart1  24628  quartlem1  24629  dvatan  24707  atantayl  24709  lgamcvg2  24826  wilthlem2  24840  logfaclbnd  24992  logexprlim  24995  perfectlem2  25000  dchrsum2  25038  sumdchr2  25040  bposlem9  25062  lgsquadlem1  25150  chebbnd1lem3  25205  rpvmasumlem  25221  log2sumbnd  25278  chpdifbndlem1  25287  selberg3lem1  25291  selberg4lem1  25294  selbergr  25302  selberg3r  25303  selberg4r  25304  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem5  25315  pntibndlem2  25325  pntlemo  25341  ttgcontlem1  25810  brbtwn2  25830  colinearalglem1  25831  axsegconlem9  25850  axcontlem2  25890  axcontlem7  25895  axcontlem8  25896  2sqmod  29776  sinccvglem  31692  bj-bary1lem  33290  bj-bary1lem1  33291  itgmulc2nclem2  33607  bfp  33753  pellexlem6  37715  congmul  37851  areaquad  38119  itgsinexp  40488  stoweidlem13  40548  stoweidlem14  40549  stoweidlem26  40561  fourierdlem6  40648  fourierdlem26  40668  fourierdlem42  40684  fourierdlem65  40706  fourierdlem95  40736  smfmullem1  41319  sigarmf  41364  cevathlem2  41378  pwdif  41826  perfectALTVlem2  41956  joinlmulsubmuld  42848
  Copyright terms: Public domain W3C validator