MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subeq0 10519
Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
subeq0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subeq0
StepHypRef Expression
1 subid 10512 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵𝐵) = 0)
21adantl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝐵) = 0)
32eqeq2d 2770 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = 0))
4 subcan2 10518 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
543anidm23 1532 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
63, 5bitr3d 270 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  cmin 10478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480
This theorem is referenced by:  subeq0i  10573  subeq0d  10612  subne0d  10613  subeq0ad  10614  mulcan1g  10892  div2sub  11062  cju  11228  nn0sub  11555  addmodlteq  12959  geoserg  14817  geolim  14820  geolim2  14821  georeclim  14822  geoisum1c  14830  tanadd  15116  fzocongeq  15268  divalglem8  15345  mndodcongi  18182  odf1  18199  odf1o1  18207  cnmet  22796  iccpnfhmeo  22965  plyremlem  24278  geolim3  24313  abelthlem2  24405  abelthlem7  24411  efeq1  24495  tanregt0  24505  logtayl  24626  ang180lem1  24759  ang180lem2  24760  ang180lem3  24761  lawcos  24766  isosctrlem1  24768  isosctrlem2  24769  atandm2  24824  atandm4  24826  2efiatan  24865  tanatan  24866  dvatan  24882  mumullem2  25126  mersenne  25172  dchrsum2  25213  sumdchr2  25215  axcgrid  26016  axcontlem2  26065  hvmulcan2  28260  poimirlem13  33753  rencldnfilem  37904  qirropth  37993  dvconstbi  39053  isosctrlem1ALT  39687
  Copyright terms: Public domain W3C validator