Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem1 31287
Description: Lemma for subfacp1 31294. The set 𝐾 together with {1, 𝑀} partitions the set 1...(𝑁 + 1). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem1 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (#‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem1
StepHypRef Expression
1 disj 4050 . . . 4 ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐾 ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
2 eldifi 3765 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
3 elfzle1 12382 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 2 ≤ 𝑥)
4 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
5 1re 10077 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
6 2re 11128 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
75, 6ltnlei 10196 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
84, 7mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ≤ 1
9 breq2 4689 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (2 ≤ 𝑥 ↔ 2 ≤ 1))
108, 9mtbiri 316 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ¬ 2 ≤ 𝑥)
1110necon2ai 2852 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 𝑥𝑥 ≠ 1)
122, 3, 113syl 18 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ≠ 1)
13 eldifsni 4353 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥𝑀)
1412, 13jca 553 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀))
15 subfacp1lem1.k . . . . . . 7 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
1614, 15eleq2s 2748 . . . . . 6 (𝑥𝐾 → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀))
17 neanior 2915 . . . . . 6 ((𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀) ↔ ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
1816, 17sylib 208 . . . . 5 (𝑥𝐾 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
19 vex 3234 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2019elpr 4231 . . . . 5 (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
2118, 20sylnibr 318 . . . 4 (𝑥𝐾 → ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
221, 21mprgbir 2956 . . 3 (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅
2322a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
24 uncom 3790 . . . 4 ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀})) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
25 1z 11445 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
26 fzsn 12421 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (1...1) = {1}
2815uneq1i 3796 . . . . . 6 (𝐾 ∪ {𝑀}) = (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀})
29 undif1 4076 . . . . . 6 (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})
3028, 29eqtr2i 2674 . . . . 5 ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (𝐾 ∪ {𝑀})
3127, 30uneq12i 3798 . . . 4 ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀}))
32 df-pr 4213 . . . . . . 7 {1, 𝑀} = ({1} ∪ {𝑀})
3332equncomi 3792 . . . . . 6 {1, 𝑀} = ({𝑀} ∪ {1})
3433uneq2i 3797 . . . . 5 (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
35 unass 3803 . . . . 5 ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
3634, 35eqtr4i 2676 . . . 4 (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
3724, 31, 363eqtr4i 2683 . . 3 ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (𝐾 ∪ {1, 𝑀})
38 subfacp1lem1.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
3938snssd 4372 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)))
40 ssequn2 3819 . . . . . . 7 ({𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)) ↔ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
4139, 40sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
42 df-2 11117 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
4342oveq1i 6700 . . . . . 6 (2...(𝑁 + 1)) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1))
4441, 43syl6eq 2701 . . . . 5 (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1)))
4544uneq2d 3800 . . . 4 (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
46 subfacp1lem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4746peano2nnd 11075 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
48 nnuz 11761 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
4947, 48syl6eleq 2740 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
50 eluzfz1 12386 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
51 fzsplit 12405 . . . . 5 (1 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
5249, 50, 513syl 18 . . . 4 (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
5345, 52eqtr4d 2688 . . 3 (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (1...(𝑁 + 1)))
5437, 53syl5eqr 2699 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
5542oveq2i 6701 . . 3 ((𝑁 + 1) − 2) = ((𝑁 + 1) − (1 + 1))
56 fzfi 12811 . . . . . . . . 9 (2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin
57 diffi 8233 . . . . . . . . 9 ((2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin → ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin
5915, 58eqeltri 2726 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Fin
60 prfi 8276 . . . . . . 7 {1, 𝑀} ∈ Fin
61 hashun 13209 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Fin ∧ {1, 𝑀} ∈ Fin ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅) → (#‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((#‘𝐾) + (#‘{1, 𝑀})))
6259, 60, 22, 61mp3an 1464 . . . . . 6 (#‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((#‘𝐾) + (#‘{1, 𝑀}))
6354fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = (#‘(1...(𝑁 + 1))))
64 neeq1 2885 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 𝑀 ≠ 1))
653, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑥 ≠ 1)
6664, 65vtoclga 3303 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑀 ≠ 1)
6738, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ≠ 1)
6867necomd 2878 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≠ 𝑀)
69 1ex 10073 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
70 subfacp1lem1.x . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ V
71 hashprg 13220 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ V) → (1 ≠ 𝑀 ↔ (#‘{1, 𝑀}) = 2))
7269, 70, 71mp2an 708 . . . . . . . 8 (1 ≠ 𝑀 ↔ (#‘{1, 𝑀}) = 2)
7368, 72sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘{1, 𝑀}) = 2)
7473oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐾) + (#‘{1, 𝑀})) = ((#‘𝐾) + 2))
7562, 63, 743eqtr3a 2709 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(1...(𝑁 + 1))) = ((#‘𝐾) + 2))
7647nnnn0d 11389 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
77 hashfz1 13174 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7876, 77syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7975, 78eqtr3d 2687 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1))
8047nncnd 11074 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
81 2cnd 11131 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
82 hashcl 13185 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Fin → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
8359, 82ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘𝐾) ∈ ℕ0
8483nn0cni 11342 . . . . . 6 (#‘𝐾) ∈ ℂ
8584a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℂ)
8680, 81, 85subadd2d 10449 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + 1) − 2) = (#‘𝐾) ↔ ((#‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1)))
8779, 86mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 2) = (#‘𝐾))
8846nncnd 11074 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
89 1cnd 10094 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9088, 89, 89pnpcan2d 10468 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (1 + 1)) = (𝑁 − 1))
9155, 87, 903eqtr3a 2709 . 2 (𝜑 → (#‘𝐾) = (𝑁 − 1))
9223, 54, 913jca 1261 1 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (#‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  subfacp1lem2a  31288  subfacp1lem3  31290  subfacp1lem4  31291
  Copyright terms: Public domain W3C validator