Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem1 30221
Description: Lemma for subfacp1 30228. The set 𝐾 together with {1, 𝑀} partitions the set 1...(𝑁 + 1). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem1 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (#‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem1
StepHypRef Expression
1 disj 3968 . . . 4 ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐾 ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
2 eldifi 3693 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
3 elfzle1 12170 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 2 ≤ 𝑥)
4 1lt2 11041 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
5 1re 9895 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
6 2re 10937 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
75, 6ltnlei 10009 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
84, 7mpbi 218 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ≤ 1
9 breq2 4581 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (2 ≤ 𝑥 ↔ 2 ≤ 1))
108, 9mtbiri 315 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ¬ 2 ≤ 𝑥)
1110necon2ai 2810 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 𝑥𝑥 ≠ 1)
122, 3, 113syl 18 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ≠ 1)
13 eldifsni 4260 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥𝑀)
1412, 13jca 552 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀))
15 subfacp1lem1.k . . . . . . 7 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
1614, 15eleq2s 2705 . . . . . 6 (𝑥𝐾 → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀))
17 neanior 2873 . . . . . 6 ((𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀) ↔ ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
1816, 17sylib 206 . . . . 5 (𝑥𝐾 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
19 vex 3175 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2019elpr 4145 . . . . 5 (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
2118, 20sylnibr 317 . . . 4 (𝑥𝐾 → ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
221, 21mprgbir 2910 . . 3 (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅
2322a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
24 uncom 3718 . . . 4 ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀})) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
25 1z 11240 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
26 fzsn 12209 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (1...1) = {1}
2815uneq1i 3724 . . . . . 6 (𝐾 ∪ {𝑀}) = (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀})
29 undif1 3994 . . . . . 6 (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})
3028, 29eqtr2i 2632 . . . . 5 ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (𝐾 ∪ {𝑀})
3127, 30uneq12i 3726 . . . 4 ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀}))
32 df-pr 4127 . . . . . . 7 {1, 𝑀} = ({1} ∪ {𝑀})
3332equncomi 3720 . . . . . 6 {1, 𝑀} = ({𝑀} ∪ {1})
3433uneq2i 3725 . . . . 5 (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
35 unass 3731 . . . . 5 ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
3634, 35eqtr4i 2634 . . . 4 (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
3724, 31, 363eqtr4i 2641 . . 3 ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (𝐾 ∪ {1, 𝑀})
38 subfacp1lem1.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
3938snssd 4280 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)))
40 ssequn2 3747 . . . . . . 7 ({𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)) ↔ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
4139, 40sylib 206 . . . . . 6 (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
42 df-2 10926 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
4342oveq1i 6537 . . . . . 6 (2...(𝑁 + 1)) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1))
4441, 43syl6eq 2659 . . . . 5 (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1)))
4544uneq2d 3728 . . . 4 (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
46 subfacp1lem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4746peano2nnd 10884 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
48 nnuz 11555 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
4947, 48syl6eleq 2697 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
50 eluzfz1 12174 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
51 fzsplit 12193 . . . . 5 (1 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
5249, 50, 513syl 18 . . . 4 (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
5345, 52eqtr4d 2646 . . 3 (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (1...(𝑁 + 1)))
5437, 53syl5eqr 2657 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
5542oveq2i 6538 . . 3 ((𝑁 + 1) − 2) = ((𝑁 + 1) − (1 + 1))
56 fzfi 12588 . . . . . . . . 9 (2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin
57 diffi 8054 . . . . . . . . 9 ((2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin → ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin
5915, 58eqeltri 2683 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Fin
60 prfi 8097 . . . . . . 7 {1, 𝑀} ∈ Fin
61 hashun 12984 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Fin ∧ {1, 𝑀} ∈ Fin ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅) → (#‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((#‘𝐾) + (#‘{1, 𝑀})))
6259, 60, 22, 61mp3an 1415 . . . . . 6 (#‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((#‘𝐾) + (#‘{1, 𝑀}))
6354fveq2d 6092 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = (#‘(1...(𝑁 + 1))))
64 neeq1 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 𝑀 ≠ 1))
653, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑥 ≠ 1)
6664, 65vtoclga 3244 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑀 ≠ 1)
6738, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ≠ 1)
6867necomd 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≠ 𝑀)
69 1ex 9891 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
70 subfacp1lem1.x . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ V
71 hashprg 12995 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ V) → (1 ≠ 𝑀 ↔ (#‘{1, 𝑀}) = 2))
7269, 70, 71mp2an 703 . . . . . . . 8 (1 ≠ 𝑀 ↔ (#‘{1, 𝑀}) = 2)
7368, 72sylib 206 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘{1, 𝑀}) = 2)
7473oveq2d 6543 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐾) + (#‘{1, 𝑀})) = ((#‘𝐾) + 2))
7562, 63, 743eqtr3a 2667 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(1...(𝑁 + 1))) = ((#‘𝐾) + 2))
7647nnnn0d 11198 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
77 hashfz1 12948 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7876, 77syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7975, 78eqtr3d 2645 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1))
8047nncnd 10883 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
81 2cnd 10940 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
82 hashcl 12961 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Fin → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
8359, 82ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘𝐾) ∈ ℕ0
8483nn0cni 11151 . . . . . 6 (#‘𝐾) ∈ ℂ
8584a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℂ)
8680, 81, 85subadd2d 10262 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + 1) − 2) = (#‘𝐾) ↔ ((#‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1)))
8779, 86mpbird 245 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 2) = (#‘𝐾))
8846nncnd 10883 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
89 1cnd 9912 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9088, 89, 89pnpcan2d 10281 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (1 + 1)) = (𝑁 − 1))
9155, 87, 903eqtr3a 2667 . 2 (𝜑 → (#‘𝐾) = (𝑁 − 1))
9223, 54, 913jca 1234 1 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (#‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2595  wne 2779  wral 2895  Vcvv 3172  cdif 3536  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873  {csn 4124  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cmpt 4637  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cc 9790  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  2c2 10917  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  ...cfz 12152  #chash 12934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-hash 12935
This theorem is referenced by:  subfacp1lem2a  30222  subfacp1lem3  30224  subfacp1lem4  30225
  Copyright terms: Public domain W3C validator