Theorem subfacval3 32431

Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression ⌊‘(𝑥 + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
subfacval3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		derang.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3		subfac.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
4	2, 3	subfacf 32417	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
5	4	ffvelrni 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12079	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℤ)
8	7	zred 12081	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℝ)
9		faccl 13637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
11	10	nnred 11647	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
12		epr 15555	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ+
13		rerpdivcl 12413	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
14	11, 12, 13	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
15		halfre 11845	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16		readdcl 10614	. . . . 5 ⊢ ((((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
18		elnn1uz2 12319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
19		fveq2 6664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = (!‘1))
20		fac1 13631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (!‘1) = 1
21	19, 20	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = 1)
22	21	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → ((!‘𝑁) / e) = (1 / e))
23		fveq2 6664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑆‘𝑁) = (𝑆‘1))
24	2, 3	subfac1 32420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆‘1) = 0
25	23, 24	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑆‘𝑁) = 0)
26	22, 25	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = ((1 / e) − 0))
27		rpreccl 12409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (e ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ+)
28	12, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / e) ∈ ℝ+
29		rpre 12391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / e) ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / e) ∈ ℝ
31	30	recni 10649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / e) ∈ ℂ
32	31	subid1i 10952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / e) − 0) = (1 / e)
33	26, 32	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = (1 / e))
34	33	fveq2d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = (abs‘(1 / e)))
35		rpge0 12396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / e) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / e))
36	28, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (1 / e)
37		absid 14650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / e) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / e)) → (abs‘(1 / e)) = (1 / e))
38	30, 36, 37	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘(1 / e)) = (1 / e)
39	34, 38	syl6eq 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = (1 / e))
40		egt2lt3 15553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
41	40	simpli 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < e
42		2re 11705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
43		ere 15436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
44		2pos 11734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
45		epos 15554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < e
46	42, 43, 44, 45	ltrecii 11550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < e ↔ (1 / e) < (1 / 2))
47	41, 46	mpbi 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / e) < (1 / 2)
48	39, 47	eqbrtrdi 5097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
49		eluz2nn 12278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
50	14, 8	resubcld 11062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 10663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℂ)
52	49, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℂ)
53	52	abscld 14790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) ∈ ℝ)
54	49	nnrecred 11682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
55	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 2) ∈ ℝ)
56	2, 3	subfaclim 32430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))
57	49, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))
58		eluzle 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
59		nnre 11639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
60		nngt0 11662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
61		lerec 11517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
62	42, 44, 61	mpanl12 700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
63	59, 60, 62	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
64	49, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
65	58, 64	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
66	53, 54, 55, 57, 65	ltletrd 10794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
67	48, 66	jaoi 853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
68	18, 67	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
69	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
70	14, 8, 69	absdifltd 14787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2) ↔ (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)))))
71	68, 70	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2))))
72	71	simpld 497	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e))
73	8, 69, 14	ltsubaddd 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ↔ (𝑆‘𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
74	72, 73	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
75	8, 17, 74	ltled 10782	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
76		readdcl 10614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
77	8, 15, 76	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
78	71	simprd 498	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)))
79	14, 77, 69, 78	ltadd1dd 11245	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
80	8	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℂ)
81	69	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
82	80, 81, 81	addassd 10657	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆‘𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
83		ax-1cn 10589	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
84		2halves 11859	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
86	85	oveq2i 7161	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑆‘𝑁) + 1)
87	82, 86	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆‘𝑁) + 1))
88	79, 87	breqtrd 5084	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))
89		flbi 13180	. . . 4 ⊢ (((((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁) ↔ ((𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))))
90	17, 7, 89	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁) ↔ ((𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))))
91	75, 88, 90	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁))
92	91	eqcomd 2827	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {cab 2799   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  –1-1-onto→wf1o 6348  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  3c3 11687  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ℝ⁺crp 12383  ...cfz 12886  ⌊cfl 13154  !cfa 13627  ♯chash 13684  abscabs 14587  eceu 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-ico 12738  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-e 15416

This theorem is referenced by:  derangfmla  32432