MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgacs 17553
Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
subgacs (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subgacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
21issubg3 17536 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
3 subgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
43submss 17274 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑠𝐵)
54adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠𝐵)
6 selpw 4139 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
75, 6sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
8 eleq2 2687 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
98raleqbi1dv 3135 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
109elrab3 3348 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
117, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
1211pm5.32da 672 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
132, 12bitr4d 271 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
14 elin 3776 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
1513, 14syl6bbr 278 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
1615eqrdv 2619 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) = ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
17 fvex 6160 . . . . 5 (Base‘𝐺) ∈ V
183, 17eqeltri 2694 . . . 4 𝐵 ∈ V
19 mreacs 16243 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
2018, 19mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
21 grpmnd 17353 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
223submacs 17289 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
2321, 22syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
243, 1grpinvcl 17391 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
2524ralrimiva 2960 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝐵 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
26 acsfn1 16246 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
2718, 25, 26sylancr 694 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
28 mreincl 16183 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
2920, 23, 27, 28syl3anc 1323 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
3016, 29eqeltrd 2698 1 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3555  wss 3556  𝒫 cpw 4132  cfv 5849  Basecbs 15784  Moorecmre 16166  ACScacs 16169  Mndcmnd 17218  SubMndcsubmnd 17258  Grpcgrp 17346  invgcminusg 17347  SubGrpcsubg 17512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-0g 16026  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-subg 17515
This theorem is referenced by:  nsgacs  17554  cycsubg2  17555  cycsubg2cl  17556  odf1o1  17911  lsmmod  18012  dmdprdd  18322  dprdfeq0  18345  dprdspan  18350  dprdres  18351  dprdss  18352  dprdz  18353  subgdmdprd  18357  subgdprd  18358  dprdsn  18359  dprd2dlem1  18364  dprd2da  18365  dmdprdsplit2lem  18368  ablfac1b  18393  pgpfac1lem1  18397  pgpfac1lem2  18398  pgpfac1lem3a  18399  pgpfac1lem3  18400  pgpfac1lem4  18401  pgpfac1lem5  18402  pgpfaclem1  18404  pgpfaclem2  18405  lssacs  18889  subrgacs  37272  proot1mul  37279  proot1hash  37280
  Copyright terms: Public domain W3C validator