Theorem subgbas 18286

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2824	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 18283	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 16558	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486   ↾_s cress 16487  SubGrpcsubg 18276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-1cn 10598  ax-addcl 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-nn 11642  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-subg 18279

This theorem is referenced by:  subg0  18288  subginv  18289  subg0cl  18290  subginvcl  18291  subgcl  18292  subgsub  18294  subgmulg  18296  issubg2  18297  subsubg  18305  nmznsg  18323  subgga  18433  gasubg  18435  odsubdvds  18699  pgp0  18724  subgpgp  18725  sylow2blem2  18749  sylow2blem3  18750  slwhash  18752  fislw  18753  sylow3lem4  18758  sylow3lem6  18760  subglsm  18802  pj1ghm  18832  subgabl  18959  cycsubgcyg  19024  subgdmdprd  19159  ablfacrplem  19190  ablfac1c  19196  pgpfaclem1  19206  pgpfaclem2  19207  pgpfaclem3  19208  ablfaclem3  19212  ablfac2  19214  subrgbas  19547  issubrg2  19558  pj1lmhm  19875  phssip  20805  scmatsgrp1  21134  subgtgp  22716  subgnm  23245  subgngp  23247  lssnlm  23313  cmscsscms  23979  cssbn  23981  reefgim  25041  efabl  25137