MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgbas 17579
Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
subgbas (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21subgss 17576 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3 subggrp.h . . 3 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
43, 1ressbas2 15912 . 2 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
52, 4syl 17 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  wss 3567  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  s cress 15839  SubGrpcsubg 17569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-nn 11006  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-subg 17572
This theorem is referenced by:  subg0  17581  subginv  17582  subg0cl  17583  subginvcl  17584  subgcl  17585  subgsub  17587  subgmulg  17589  issubg2  17590  subsubg  17598  nmznsg  17619  subgga  17714  gasubg  17716  odsubdvds  17967  pgp0  17992  subgpgp  17993  sylow2blem2  18017  sylow2blem3  18018  slwhash  18020  fislw  18021  sylow3lem4  18026  sylow3lem6  18028  subglsm  18067  pj1ghm  18097  subgabl  18222  cycsubgcyg  18283  subgdmdprd  18414  ablfacrplem  18445  ablfac1c  18451  pgpfaclem1  18461  pgpfaclem2  18462  pgpfaclem3  18463  ablfaclem3  18467  ablfac2  18469  subrgbas  18770  issubrg2  18781  pj1lmhm  19081  phssip  19984  scmatsgrp1  20309  subgtgp  21890  subgnm  22418  subgngp  22420  lssnlm  22486  reefgim  24185  efabl  24277
  Copyright terms: Public domain W3C validator