Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgcl 17797
 Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subgcl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
subgcl ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2752 . . . . 5 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
21subggrp 17790 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
323ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
4 simp2 1131 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋𝑆)
51subgbas 17791 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
653ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
74, 6eleqtrd 2833 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
8 simp3 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌𝑆)
98, 6eleqtrd 2833 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
10 eqid 2752 . . . 4 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
11 eqid 2752 . . . 4 (+g‘(𝐺s 𝑆)) = (+g‘(𝐺s 𝑆))
1210, 11grpcl 17623 . . 3 (((𝐺s 𝑆) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))) → (𝑋(+g‘(𝐺s 𝑆))𝑌) ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
133, 7, 9, 12syl3anc 1473 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋(+g‘(𝐺s 𝑆))𝑌) ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
14 subgcl.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
151, 14ressplusg 16187 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
16153ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
1716oveqd 6822 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(+g‘(𝐺s 𝑆))𝑌))
1813, 17, 63eltr4d 2846 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051   ↾s cress 16052  +gcplusg 16135  Grpcgrp 17615  SubGrpcsubg 17781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-grp 17618  df-subg 17784 This theorem is referenced by:  subgsubcl  17798  subgmulgcl  17800  issubg2  17802  subgint  17811  ssnmz  17829  eqger  17837  eqgcpbl  17841  resghm  17869  ghmpreima  17875  subgga  17925  gasubg  17927  sylow2blem2  18228  lsmidm  18269  lsmmod  18280  pj1ghm  18308  dprdfadd  18611  pgpfac1lem3  18668  subrgacl  18985  islss4  19156  mpllsslem  19629  subgntr  22103  taylply2  24313  efgh  24478
 Copyright terms: Public domain W3C validator