MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgdisj2 18747
Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 12-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p + = (+g𝐺)
subgdisj.o 0 = (0g𝐺)
subgdisj.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
subgdisj.s (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
subgdisj.a (𝜑𝐴𝑇)
subgdisj.c (𝜑𝐶𝑇)
subgdisj.b (𝜑𝐵𝑈)
subgdisj.d (𝜑𝐷𝑈)
subgdisj.j (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
subgdisj2 (𝜑𝐵 = 𝐷)

Proof of Theorem subgdisj2
StepHypRef Expression
1 subgdisj.p . 2 + = (+g𝐺)
2 subgdisj.o . 2 0 = (0g𝐺)
3 subgdisj.z . 2 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 subgdisj.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 subgdisj.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 incom 4175 . . 3 (𝑇𝑈) = (𝑈𝑇)
7 subgdisj.i . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
86, 7syl5eqr 2867 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑇) = { 0 })
9 subgdisj.s . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
103, 5, 4, 9cntzrecd 18733 . 2 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑍𝑇))
11 subgdisj.b . 2 (𝜑𝐵𝑈)
12 subgdisj.d . 2 (𝜑𝐷𝑈)
13 subgdisj.a . 2 (𝜑𝐴𝑇)
14 subgdisj.c . 2 (𝜑𝐶𝑇)
15 subgdisj.j . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
169, 13sseldd 3965 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑍𝑈))
171, 3cntzi 18397 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐵𝑈) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
1816, 11, 17syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
199, 14sseldd 3965 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝑍𝑈))
201, 3cntzi 18397 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐷𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
2119, 12, 20syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
2215, 18, 213eqtr3d 2861 . 2 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) = (𝐷 + 𝐶))
231, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 22subgdisj1 18746 1 (𝜑𝐵 = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  wss 3933  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  SubGrpcsubg 18211  Cntzccntz 18383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385
This theorem is referenced by:  subgdisjb  18748  lvecindp  19839  lshpsmreu  36125  lshpkrlem5  36130
  Copyright terms: Public domain W3C validator