MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge02d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subge02d 11220
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
subge02d (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴𝐵) ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge02d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 subge02 11144 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴𝐵) ≤ 𝐴))
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴𝐵) ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  cle 10664  cmin 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  12917  modsubdir  13296  iseraltlem3  15028  fsum0diaglem  15119  mertenslem1  15228  fallfacval4  15385  bitsinv1lem  15778  smueqlem  15827  pcbc  16224  coe1tmmul2  20372  ovoliunlem1  24030  ioorcl2  24100  vitalilem2  24137  dvfsumlem4  24553  cosordlem  25042  efif1olem2  25054  basellem3  25587  chpub  25723  gausslemma2dlem1a  25868  lgsquadlem1  25883  rplogsumlem2  25988  rpvmasumlem  25990  pntrlog2bnd  26087  pntleml  26114  dnibndlem11  33724  jm2.17b  39436  dvnprodlem1  42107  dvnprodlem2  42108  fourierdlem107  42375  etransclem3  42399  etransclem7  42403  etransclem10  42406  etransclem24  42420
  Copyright terms: Public domain W3C validator