MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subge0d 10466
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
subge0d (𝜑 → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem subge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 subge0 10390 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  cle 9931  cmin 10117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120
This theorem is referenced by:  ofsubge0  10866  uzsubsubfz  12189  modsubdir  12556  modsumfzodifsn  12560  serle  12673  discr  12818  bcval5  12922  fzomaxdiflem  13876  sqreulem  13893  amgm2  13903  climle  14164  rlimle  14172  iseralt  14209  fsumle  14318  cvgcmp  14335  binomrisefac  14558  smuval2  14988  pcz  15369  4sqlem15  15447  mndodconglem  17729  ipcau2  22762  pjthlem1  22933  ovolicc2lem4  23012  vitalilem2  23101  itg1lea  23202  dvlip  23477  dvge0  23490  dvle  23491  dvivthlem1  23492  dvfsumlem2  23511  dvfsumlem4  23513  loglesqrt  24216  emcllem6  24444  harmoniclbnd  24452  basellem9  24532  gausslemma2dlem0h  24805  lgseisenlem1  24817  vmadivsum  24888  rplogsumlem1  24890  dchrisumlem2  24896  rplogsum  24933  vmalogdivsum2  24944  selberg2lem  24956  logdivbnd  24962  pntpbnd2  24993  pntibndlem2  24997  pntlemg  25004  pntlemn  25006  ttgcontlem1  25483  brbtwn2  25503  axpaschlem  25538  axcontlem8  25569  clwlkisclwwlklem2a1  26073  clwlkisclwwlklem2fv2  26077  pjhthlem1  27440  leop2  28173  pjssposi  28221  2sqmod  28785  rddif2  31443  dnibndlem4  31447  broucube  32409  areacirclem2  32467  areacirclem4  32469  areacirclem5  32470  areacirc  32471  acongrep  36361  lptre2pt  38504  dvnmul  38630  dvnprodlem1  38633  dvnprodlem2  38634  stoweidlem1  38691  stoweidlem26  38716  stoweidlem62  38752  wallispilem4  38758  fourierdlem26  38823  fourierdlem42  38839  fourierdlem65  38861  fourierdlem75  38871  elaa2lem  38923  etransclem3  38927  etransclem7  38931  etransclem10  38934  etransclem20  38944  etransclem21  38945  etransclem22  38946  etransclem24  38948  etransclem27  38951  hoidmvlelem1  39282  crctcsh  41022  clwlkclwwlklem2a1  41196  clwlkclwwlklem2fv2  41200  nnpw2pmod  42170
  Copyright terms: Public domain W3C validator