MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subge0d 10655
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
subge0d (𝜑 → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem subge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 subge0 10579 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  cle 10113  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  ofsubge0  11057  uzsubsubfz  12401  modsubdir  12779  modsumfzodifsn  12783  serle  12896  discr  13041  bcval5  13145  fzomaxdiflem  14126  sqreulem  14143  amgm2  14153  climle  14414  rlimle  14422  iseralt  14459  fsumle  14575  cvgcmp  14592  binomrisefac  14817  smuval2  15251  pcz  15632  4sqlem15  15710  mndodconglem  18006  ipcau2  23079  pjthlem1  23254  ovolicc2lem4  23334  vitalilem2  23423  itg1lea  23524  dvlip  23801  dvge0  23814  dvle  23815  dvivthlem1  23816  dvfsumlem2  23835  dvfsumlem4  23837  loglesqrt  24544  emcllem6  24772  harmoniclbnd  24780  basellem9  24860  gausslemma2dlem0h  25133  lgseisenlem1  25145  vmadivsum  25216  rplogsumlem1  25218  dchrisumlem2  25224  rplogsum  25261  vmalogdivsum2  25272  selberg2lem  25284  logdivbnd  25290  pntpbnd2  25321  pntibndlem2  25325  pntlemg  25332  pntlemn  25334  ttgcontlem1  25810  brbtwn2  25830  axpaschlem  25865  axcontlem8  25896  crctcsh  26772  clwlkclwwlklem2a1  26958  clwlkclwwlklem2fv2  26962  pjhthlem1  28378  leop2  29111  pjssposi  29159  2sqmod  29776  fdvposle  30807  rddif2  32592  dnibndlem4  32596  broucube  33573  areacirclem2  33631  areacirclem4  33633  areacirclem5  33634  areacirc  33635  acongrep  37864  lptre2pt  40190  dvnmul  40476  dvnprodlem1  40479  dvnprodlem2  40480  stoweidlem1  40536  stoweidlem26  40561  stoweidlem62  40597  wallispilem4  40603  fourierdlem26  40668  fourierdlem42  40684  fourierdlem65  40706  fourierdlem75  40716  elaa2lem  40768  etransclem3  40772  etransclem7  40776  etransclem10  40779  etransclem20  40789  etransclem21  40790  etransclem22  40791  etransclem24  40793  etransclem27  40796  hoidmvlelem1  41130  nnpw2pmod  42702
  Copyright terms: Public domain W3C validator