Theorem subge0d 11229

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536   ≤ cle 10675   − cmin 10869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872

This theorem is referenced by:  ofsubge0  11636  uzsubsubfz  12928  modsubdir  13307  modsumfzodifsn  13311  serle  13424  discr  13600  bcval5  13677  fzomaxdiflem  14701  sqreulem  14718  amgm2  14728  climle  14995  rlimle  15003  iseralt  15040  fsumle  15153  cvgcmp  15170  binomrisefac  15395  smuval2  15830  pcz  16216  4sqlem15  16294  mndodconglem  18668  ipcau2  23836  pjthlem1  24039  ovolicc2lem4  24120  vitalilem2  24209  itg1lea  24312  dvlip  24589  dvge0  24602  dvle  24603  dvivthlem1  24604  dvfsumlem2  24623  dvfsumlem4  24625  loglesqrt  25338  emcllem6  25577  harmoniclbnd  25585  basellem9  25665  gausslemma2dlem0h  25938  lgseisenlem1  25950  2sqmod  26011  vmadivsum  26057  rplogsumlem1  26059  dchrisumlem2  26065  rplogsum  26102  vmalogdivsum2  26113  selberg2lem  26125  logdivbnd  26131  pntpbnd2  26162  pntibndlem2  26166  pntlemg  26173  pntlemn  26175  ttgcontlem1  26670  brbtwn2  26690  axpaschlem  26725  axcontlem8  26756  crctcsh  27601  clwlkclwwlklem2a1  27769  clwlkclwwlklem2fv2  27773  pjhthlem1  29167  leop2  29900  pjssposi  29948  fdvposle  31872  rddif2  33816  dnibndlem4  33820  broucube  34925  areacirclem2  34982  areacirclem4  34984  areacirclem5  34985  areacirc  34986  acongrep  39575  lptre2pt  41919  dvnmul  42226  dvnprodlem1  42229  dvnprodlem2  42230  stoweidlem1  42285  stoweidlem26  42310  stoweidlem62  42346  wallispilem4  42352  fourierdlem26  42417  fourierdlem42  42433  fourierdlem65  42455  fourierdlem75  42465  elaa2lem  42517  etransclem3  42521  etransclem7  42525  etransclem10  42528  etransclem20  42538  etransclem21  42539  etransclem22  42540  etransclem24  42542  etransclem27  42545  hoidmvlelem1  42876  nnpw2pmod  44642  2itscp  44767