Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subggim 17689
 Description: Behavior of subgroups under isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
subggim ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐹𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)))

Proof of Theorem subggim
StepHypRef Expression
1 gimghm 17687 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
21adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
3 ghmima 17662 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐹𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆))
42, 3sylan 488 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐹𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆))
5 subgim.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2620 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
75, 6gimf1o 17686 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵1-1-onto→(Base‘𝑆))
8 f1of1 6123 . . . . . 6 (𝐹:𝐵1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝐹:𝐵1-1→(Base‘𝑆))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵1-1→(Base‘𝑆))
10 f1imacnv 6140 . . . . 5 ((𝐹:𝐵1-1→(Base‘𝑆) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) = 𝐴)
119, 10sylan 488 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) = 𝐴)
1211adantr 481 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) = 𝐴)
13 ghmpreima 17663 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝑅))
142, 13sylan 488 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝑅))
1512, 14eqeltrrd 2700 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
164, 15impbida 876 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐹𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ⊆ wss 3567  ◡ccnv 5103   “ cima 5107  –1-1→wf1 5873  –1-1-onto→wf1o 5875  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  SubGrpcsubg 17569   GrpHom cghm 17638   GrpIso cgim 17680 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-gim 17682 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator